高中数学 2-1-2 求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1.ppt

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1、第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2．1.2求曲线的方程1.掌握求曲线方程的方法步骤．2．了解解析法的思想，体验用坐标法研究几何问题的方法与过程．3．培养数形结合的能力.新知视界1．坐标法与解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就是坐标法．数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．2．平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质

2、．3．求曲线(图形)的方程，有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点的坐标；(2)写出适合条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程f(x，y)＝0；(4)化简方程f(x，y)＝0；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外也可以省略(2)，直接列出曲线方程．尝试应用1．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－

3、1)2＋(y＋2)2＝3解析：由题意知，点P的轨迹满足圆的定义，圆心为(1，－2)，半径为3，所以方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.答案：B2．已知在直角坐标系中一点A(－3,1)，一条直线l：x＝1，平面内一动点P，点P到点A的距离与到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是()A．(y＋1)2＝8(x－1)B．(y－1)2＝8(x＋1)C．(y＋1)2＝－8(x－1)D．(y－1)2＝－8(x＋1)解析：设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋(y－1)2＝(x－1)2，化简整理，得(y－1)2＝－8(x＋1)，故应选D.答案：D3．△ABC的顶

4、点坐标分别为A(－4，－3)，B(2，－1)，C(5,7)，则AB边上的中线的方程为________．答案：3x－2y－1＝0(－1≤x≤5)4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________．解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线．答案：x＋y－1＝05．动点P在曲线y＝2x2＋1上运动，求点P与定点(0，－1)连线的中点M的轨迹方程．典例精析类型一　　直接法求曲线方程[例1]△ABC的顶点A固定，角A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．[分析]首先建立直角坐标系，

5、因BC在一条定直线上移动，故可选此定直线为x轴，过A点且垂直于x轴的直线为y轴．另外，外心到三角形三个顶点的距离相等，利用这个等量关系就可以得出△ABC外心的轨迹方程．[解]如图1，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b)．设△ABC的外心为M(x，y)，作MN⊥BC于N，则直线MN是BC的垂直平分线．[点评](1)解本题的关键是建立适当的直角坐标系，充分利用三角形外心的性质．易错处是用

6、BM

7、＝

8、CM

9、列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式．原因是在求

10、BM

11、的长时已利用了

12、BM

13、＝

14、CM

15、

16、这个等量关系．(2)对于本题，在建立直角坐标系时，也可以把BC边所在的定直线作为y轴，过A点与定直线垂直的直线作为x轴，此时方程将有所变化．迁移体验1一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求该动点的轨迹方程．类型二　　定义法求曲线方程[例2]已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．[分析]关键是寻找Q点满足的几何条件．可以考虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中点．迁移体验2定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．类型三　　相关点

17、法求曲线方程[例3]已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．[分析]由重心坐标公式，可知△ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来，而A、B是定点，且C在曲线y＝x2＋3上运动，故重心与C相关联．因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y＝x2＋3即可．[点评](1)本例是求轨迹方程中的常见题型，难度适中．本题解法称为代入法(或相关点法)，此法适用于已知一动点的轨迹方程，求另一动点的轨迹方程的问题．(2)应注意的是，本例中曲线y＝x2＋3上没

18、有与A、B共线的点，因此，整理方程①就得到轨迹方程；若曲线方程为y＝x2－3，则应去掉与A、B