反例在数学分析中的若干应用.ppt

《反例在数学分析中的若干应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、答辩人：专业：数学与应用数学指导老师：日期：2012年05月25日反例在数学分析中的若干应用一综述二论文结构三反例应用列举四应用反例时应注意的问题五反例的若干构造方法目录研究意义：反例是一种重要的数学方法，在数学分析的学习中起着无可比拟的重要作用，它开辟了数学领域的新天地，是数学分析理论中不可或缺的重要组成部分，本文主要对反例在数学分析中的若干应用，应用反例时应注意的问题以及反例的构造方法进行归纳总结，旨在对数学分析的学习起到一定的参考价值。一综述反例反例的若干应用反例的构造方法二论文结构理解定理概念促进思考，拓展知识面克服思维定式应用反例时应注意的问题特例构造法性质构造法类比构

2、造法1.应用反例以透彻理解定义定理及概念函数极限定义：设函数在的去心领域内有定义，如果存在常数A，对于，，当时，有成立，则称函数当时存在极限，极限是A，记为：或三反例的应用列举在此定义中，要求函数在的去心领域内有定义，如果在点没定义，那么在点的极限是否还存在呢？答案是极限仍然存在，因为存在反例：例：函数分析：该函数在点无定义，但所以，通过此反例我们得出：函数在没定义的点是可以有极限的。2.应用反例以促进思考，拓展知识面反例就像一面镜子，让我们可以站在问题的对立面去观察、分析和研究学习过程中所遇到的问题，提高我们全面认识问题的意识和举一反三的数学思维能力，从而使我们更加牢固的掌握所

3、学知识，扩大我们的知识储存量.函数的点点收敛与一致收敛知识的拓展在学习完函数列点点收敛和一致收敛之后，我们可以很容易的推出一致收敛的函数列必定点点收敛，那么，点点收敛的函数列是否必定一致收敛呢？此时从正面论证是不容易的，若能从反面找到点点收敛但却不一致收敛的函数列，则可很容易得出结论。如下的反例则是最好的证明。例：设为定义在上的函数列，它的收敛域是，且有极限函数可知，函数列在上点点收敛于.事实上，令，对任何正数N，取正整数及，则有：因此，函数列在上不一致收敛。故，点点收敛的函数列不一定一致收敛。3.应用反例以克服思维定式微积分创立始初，科学界曾长期认为“连续函数除个别点外总是处处

4、可导的”，1872年德国数学家Weiestrass却构造出了一个处处连续而处处不可导的函数：其中b是奇函数，且，这一反例震惊了数学界，给了思维定势致命一击，在学习中，在习惯性程序的影响下，我们容易形成固定的思维模式，而反例则可以打破这一思维定势。1.分清主次，学习中主要学习概念、定理和方法，举反例重在辨清是非，因此，反例应该作为围绕主要内容而进行的有效的辅助学习手段.2.运用适当，反例应是经过挑选的，既要简单又要能够说明问题，难度应适当，以免浪费不必要的时间和精力。3.牢记一些典型函数，如狄利克雷函数等的各方面性质，在反例的实际应用中会有很大的帮助.四应用反例时应注意的问题1.特

5、例构造法特例构造法是利用一些典型的反例经科学的凑合，就可提出所需的反例。例：在处连续，是否存在的领域，使在该领域内连续.分析：我们可以构造这样的反例来求解，我们知道狄利克雷函数：处处不连续，利用这个例子，做易知，只在连续，在其他地方都不连续。五反例的若干构造方法2.性质构造法性质构造法就是根据所需反例本身的性质和特征，用一定技巧构造反例的方法.例：Schwardz不等式：若与在可积，则：有言：“上式等号成立当且仅当和是线性相关的函数”而事实上，二者线性相关仅是上式成立的充分条件，可举反例，找两个线性无关的函数，但满足Schwardz不等式.如下：构造区间上的函数，满足当（p,q为

6、互质的正整数，）时，；当时；当x为无理数时，.用积分上和和下和容易证明在可积，且，取（c为常数）则：即等式成立，但和在上线性无关，因为不为常数.3.类比构造法根据已知反例的特点与思维方法，在新的范围内构造出类似的反例的方法.如：第一个无处可微的连续函数的例子是由Weierstrass用振动曲线构造提出的：VanderWaerden将振动曲线改进为折线，构造出一个无处可微但处处连续的例子:后来又有许多数学家在上述两个例子的基础上又构造出了一系列无处可微但处处连续的例子，做为数学科学学院的学生，我们也应该从伟人的思想中吸取经验，充分利用好反例，学好数学分析这门课程。谢谢！