数学分析中的反例教学

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1、目录摘要2Abstract3一、函数与极限4（一）数列极限4（二）函数极限6二、连续函数7三、可导函数10四、中值定理12五、定积分14六、反常积分与积分极限18七、数项级数20八、一致收敛23九、幂级数、三角级数、含参量积分24十、多元微积分25参考文献28致谢2929数学分析中的经典反例摘要：数学分析中存在大量的反例，应用列举反例来驳斥命题真实性的思想在数学中非常重要。本文阐述了一些数学分析中经典反例，这些反例比较多见也容易理解和掌握。本文按照数学分析中重要板块分为十个部分，在每一部分总结并提出一些经典的反例。运用命题的形式给出一个数学问题，这些命题均为不正确的，列

2、举满足命题条件但使得结论不成立的例子进行反驳，证明其错误性。进一步，文章针对某些命题加上一些说明和注解，目的是说明其错误根源在于命题中的某些条件没有被限制，并且通过加上一些限制条件使得原命题成立。文章还对一些反例加上引申和推广，主要是通过对命题中的条件进行分析，拓宽一些限制条件，寻找在新条件下仍满足命题错误的反例。关键词：命题；反例；注解和推广29ClassicCounterexamplesinMathematicalAnalysisAbstract:Therearemanycounterexamplesinmathematicalanalysis.Theideatha

3、tcounterexamplescitedtorefutetheauthenticityofpropositionisveryimportantinmath.Inthispaper,Isummarizesomeclassicalcounterexampleswhicharenotonlycommonbutalsoeasytounderstand.Thisarticleisdividedintotenparts,ineachpartIsumupandintroduceanumberofclassiccounterexamples,inaccordancewiththeim

4、portantplatesinmathematicalanalysis.Igiveamathproblembyusingtheformofpropositionswhicharenottrue,andthenIlistexampleswhichsatisfyconditionsofthepropositionbutnotfulfilltheconclusionstorefuteanddemonstratethaterrorofthepropositions.Inaddition,thearticleaddsseveralnotesandcommentsforsomepr

5、opositionsinordertoanswerthereason-whyiserror-isrootedinnotbeingrestrictedtocertainconditions,andItrytomaketheoriginalpropositionrightbyaddingafewrestrictiveconditions.Thearticlealsoappendsexplicationandpromotion,mainlythroughthemeananalysistheconditionsofthepropositionandwidethelimitati

6、onsoftheconditionstosearchcounterexampleswhichstillmeettheconditionsinnewproposition.Keywords:theproposition;counterexamples;commentandpromotion29一、函数与极限（一）数列极限1.存在正整数反例：令使得.引申：使得.反例：令与任意使得成立矛盾.2..反例：.引申:有.反例：293.则.注：这里极限对于不是一致的。当且仅当为柯西列时对一致。4.设若则或.反例：5.若,则.反例：.6.设是一个数列，若在任一子序列中均存在收敛子列则必

7、为收敛数列.反例：令为1，0，1，0，…任一子序列都存在收敛子列但此数列发散.7.设数列为无穷大量，数列满足则数列为无穷大量.反例：.8.反例：29（二）函数极限1.若,则就有.反例：2.反例：注：命题满足下列条件之一：（1）（2）在的某个邻域内当Pamankutty和Vamanamurthy进一步指出，若则或者3.对于，.反例：294.反例：5.有界区间上一一对应的连续函数，反函数必连续。反例：为一个从区间映到单位圆上一一对应的连续函数，但是则把单位圆映到上，把圆周展开映到这个区间上，把点映到0而把接近的圆周上的点映到接近上，所以明显不