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1、题型练6 大题专项(四) 立体几何综合问题 题型练第60页 1.如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∠ABE=60°,G为BE的中点.(1)求证:AG⊥平面ADF;(2)若AB=3BC,求二面角D-CA-G的余弦值.(1)证明∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∴AD⊥AB.∵矩形ABCD∩菱形ABEF=AB,∴AD⊥平面ABEF.∵AG⊂平面ABEF,∴AD⊥AG.∵菱形ABEF中,∠ABE=60°,G为BE的中点,∴AG⊥BE,即AG⊥AF.∵AD∩AF=A,∴AG⊥平面ADF.(2)解由(1)可知AD,AF,AG
2、两两垂直,以A为原点,AG所在直线为x轴,AF所在直线为y轴,AD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=3BC=3,则BC=1,AG=32,故A(0,0,0),C32,-32,1,D(0,0,1),G32,0,0,则AC=32,-32,1,AD=(0,0,1),AG=32,0,0,设平面ACD的法向量n1=(x1,y1,z1),则n1·AC=32x1-32y1+z1=0,n1·AD=z1=0,取y1=3,得n1=(1,3,0),设平面ACG的法向量n2=(x2,y2,z2),则n2·AC=32x2-32y2+z2=0,n2·AG=32x2=0
3、,取y2=2,得n2=(0,2,3).设二面角D-CA-G的平面角为θ,则cosθ=n1·n2
4、n1
5、
6、n2
7、=232×7=217,易知θ为钝角,∴二面角D-CA-G的余弦值为-217.2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.解:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以{OB,OC,OO1}为基底,建立空间直角坐标系O-
8、xyz.因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).(1)因为P为A1B1的中点,所以P32,-12,2,从而BP=-32,-12,2,AC1=(0,2,2),故
9、cos
10、=
11、BP·AC1
12、
13、BP
14、
15、AC1
16、=
17、-1+4
18、5×22=31020.因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为31020.(2)因为Q为BC的中点,所以Q32,12,0,因此AQ=32,32,0,AC1=(0,2,2),CC1=(0,0,2).设n=(x,y,z
19、)为平面AQC1的一个法向量,则AQ·n=0,AC1·n=0,即32x+32y=0,2y+2z=0.不妨取n=(3,-1,1).设直线CC1与平面AQC1所成角为θ,则sinθ=
20、cos
21、=
22、CC1·n
23、
24、CC1
25、
26、n
27、=25×2=55,所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为55.3.在四棱锥P-ABCD中,BC=BD=DC=23,AD=AB=PD=PB=2.(1)若点E为PC的中点,求证:BE∥平面PAD.(2)当平面PBD⊥平面ABCD时,求二面角C-PD-B的余弦值.(1)证明取CD的中点为M,连接EM,BM.由已知得,△
28、BCD为等边三角形,BM⊥CD.∵AD=AB=2,BD=23,∴∠ADB=∠ABD=30°,∴∠ADC=90°,∴BM∥AD.又BM⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BM∥平面PAD.∵E为PC的中点,M为CD的中点,∴EM∥PD.又EM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴EM∥平面PAD.∵EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD.∵BE⊂平面BEM,∴BE∥平面PAD.(2)解连接AC,交BD于点O,连接PO,由对称性知,O为BD的中点,且AC⊥BD,PO⊥BD.∵平面PBD⊥平面ABCD,PO⊥BD,∴PO⊥平面ABCD,PO=AO=1,CO=
29、3.以O为坐标原点,OC的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则D(0,-3,0),C(3,0,0),P(0,0,1).易知平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0).设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),则n2⊥DC,n2⊥DP,∴n2·DC=0,n2·DP=0.∵DC=(3,3,0),DP=(0,3,1),∴3x+3y=0,3y+z=0.令y=3,得x=-1,z=-3,∴n2=(-1,3,-3),∴cos=n1·n2
30、n1
31、
32、n2
33、=-113=-1313.设二面角C-PD-B的大小为θ,则cosθ=1313.4
34、.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面C
