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《（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习题型练4大题专项（二）数列的通项、求和问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、题型练4 大题专项(二) 数列的通项、求和问题 题型练第56页 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S4=16,数列{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=n.(1)求{bn}的通项公式;(2)求数列bn+1an的前n项和Tn.解:(1)设首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S4=16,所以a1+d=3,4a1+4×32d=16,解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1.因为a1b1+a2b2+…+anbn=n,所以1·b1+3·b2+…+(2n-
2、1)bn=n,①所以当n≥2时,1·b1+3·b2+…+(2n-3)bn-1=n-1,②①-②得,(2n-1)bn=1,所以bn=12n-1,当n=1时,b1=1(首项符合通项),故bn=12n-1.(2)因为bn=12n-1,所以bn+1an=12n+12n-1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以Tn=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an2,n∈N*.(1)证明:数列{1+log2an}为等比数列
3、;(2)设bn=n1+log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明由an+1=2an2,两边取以2为底的对数,得log2an+1=1+2log2an,则log2an+1+1=2(log2an+1),所以{1+log2an}为等比数列,首项为2,公比为2,且log2an+1=(log2a1+1)×2n-1=2n.(2)解由(1)得bn=n2n.因为Sn为数列{bn}的前n项和,所以Sn=12+222+…+n2n,则12Sn=122+223+…+n2n+1.两式相减得12Sn=12+122+…+12n-n2n+1=1
4、-12n-n2n+1,所以Sn=2-n+22n.3.已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{bn}的通项公式.解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8q+1q=20,解得q=2或q=12,因为q>1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{c
5、n}前n项和为Sn,由cn=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2,解得cn=4n-1.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)·12n-1.故bn-bn-1=(4n-5)·12n-2,n≥2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·12n-2+(4n-9)·12n-3+…+7·12+3.设Tn=3+7·12+11·122+…+(4n-5)·12n-2,n≥2,12Tn=3·12+7·122+…+(4n-9)·12n-2+(4n-5)·12
6、n-1,所以12Tn=3+4·12+4·122+…+4·12n-2-(4n-5)·12n-1,因此Tn=14-(4n+3)·12n-2,n≥2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·12n-2.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公比为q的等比数列{bn}的首项是12,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;(2)求数列1anan+1+1bnbn+1的前n项和Tn.解:(1)设{an}公差为d,由题意得a1+2d=8,a1+2q=3,a1+d+2q=6,
7、解得a1=2,d=3,q=12,故an=3n-1,bn=12n.(2)∵1anan+1+1bnbn+1=131an-1an+1+1bnbn+1=131an-1an+1+22n+1,∴Tn=13(12-15)+15-18+…+13n-1-13n+2+8(1-4n)1-4=1312-13n+2+13(22n+3-8)=1322n+3-13n+2-52.5.已知数列{an}的各项均不为零.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且3Sn2-4Sn+Tn=0,n∈N*.(1)求a1,a2的值;(2)证明:数
8、列{an}是等比数列;(3)若(λ-nan)(λ-nan+1)<0对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的所有值.(1)解3Sn2-4Sn+Tn=0,n∈N*,令n=1,得3a12-4a1+a12=0,因为a1≠0,所以a1=1.令n=2,得3(1+a2)2-4(1+a2)+(1+a22)=0,即2a22+a
