由抛物线一道定值问题引发的思考.pdf

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1、＊？４２５２０１７年第期中学数学研究＋ｉ＝＋－＝－＝菸＝＋Ａ）Ａ菸，；ｃ＝Ａ１１．，７，Ｕ，由，即“）Ｕ。）得（）＼。ｆｆ￥兮＾专＂￣＂＊＋＝Ａｘ＋＝■＝■（，），１以＊即Ａ理可得弘。因为Ａ＃，所。，，同得ｆ专从而士号＾｜＿Ａ７Ｊ＇〇＇Ｓ＝＿〇以Ａ为定值？，所Ａ￣，１ｙ（＾ＰｒＰ．ｒ＝ｉｒ＋（Ｔ）２°１２＝Ａ又因为所以％Ｚ，＾＝Ａｒｊｄ，〇，）ｙ〇Ｐ＝ｗ＝：Ａｉ；即代入①

2、所以２／ｗ。／，Ａ，＼Ａｉ＝２ｘｙ］ｐｘ，由抛物线一道定值问题引发的思考北京市陈经纶中学１０００２０）张留杰周明芝（２－一＋道抛物线的有关定ｌｔ＋ｌｔｔ在竞赛辅导中遇到如下丄丄ｌ（，ｈ），２＝＝＋￣＇＝￣＝２题推ｔｔ（ｍ２）值问题，并将该问］ｌ，引发了同学们的思考和拓展广到了有心圆锥曲线．，下面谈谈我们的探究过程严—＾当且仅当时＿＇所以＾，Ｊ＾＋２题目（２０１３年浙江省高中数学竞赛）已知抛ｐｘｌ＼ＫＰ＼２２２＝一１４ｘ％ｃｏ

3、ｓｓｉｎ＾物线ｙ，过轴上点尺的直线与抛物线交于ｇ＋ｐ＿ｐ二丄（常数）＇ＫＱｌ＾ｐ一一、ｃ两点？证明＋：存在唯点尺，使得士ｌ＾ｍｍｉｍｒ我们知道三大圆＿线之＿？密切联系’为常数．，并确＾点的坐标－１一许多几何性质都具有高度的统性．在讨论的过程—？试题的纵向推广上述结论进一中，有同学提出能否将步推广到椭圆此题的解答并不复杂，易证当点尺的坐标为（２，和双尺的坐标及定值又分别是什么曲线中呢？定点一＝呢？经过番类比探究们得？０＋常数，如下结论），根据这个结）时，（

4、厂＾＾＾＾｜巧产２＆＋￣＝１＾＞６＞０２推广知椭圆（）的＝２＾当点Ｘ的坐标力果，不难得出对于抛物线ｙ／，＾＾一￣—ｅ：一离心率为，过ａ轴上点尺的直线／与曲线交于Ｐ、０＋．，时，为常值，下面给出证明（ｐ）ｉＰＫ＇ｌＫＱｌ两点Ｐ？则推广＝２＾＞＞０ｘ轴１已知抛物线／／（／），过ｉ［为、⑴当且仅肖点士ｃ０＋（，）时，一上？点［的直线／与抛物线交于点Ｐ、＜？两点则肖且仅当点Ｘ的坐标为（Ｐ，０时，＋为）为常数；＾ｐ＾＾￥数＿２当且仅当点尺

5、为±－－．．０（）（，）时，＞，丄，７；＾，２证明：设尺（％，〇），直线／的方程为Ｖａ＋ｂ＋ｋ〇Ｓ０’ｔ０，＋为常数？＾（为参数，为直线的倾斜角〉代ｌ＝１１１ＫＩｔｓｉｎＳＶｊ．２２＝２２－－证明１似：＋１ｍ＝：（）设椭圆方程为叮入／＝２ｘｆｓｉｎ９２ｃ〇Ｓ（９２０（其中ｐ得＜ｗｍ。，所以ｑ＝＋＊ｃｏｓ０？’＝＝处巧—Ｊ＿＿Ｌ？线ｚ的方程为（，所以＋七，），直２弓２１２＃＾２＾２合广ａｂ＝ＩＡＰ１Ｉ尺

6、？ｓｉｎ６？ｓｉｎ０ｓｉｎＶ１ｈ（？？．２６中学数学研究２０１７年第４期为参数似＝１＿），代人Ｗ并整理得（＾时爪＿，两个式子的值才与沒无关显然由，２２ｎｍ＋ｎ？－ｎｓｉｎ０艺＋２ｍ％ｃｏｓ０ｆ１＝０以＋（）），所ｏ勾２－Ｘ２ｍｘｃ〇Ｓｅｍｘ１＿＜〇＝００？＞〇即可得对于椭圆＋！ａ＞丢；＿，＿＜＾（２２９１２２°ａ２ｎｓｉｎｍｃｏｓｎｓｍｃｏｓ０＋〇０＋ｉｎ６６＞０）在ｙ轴上不存

7、在这样的点Ｋ｛｛１ｔｔ，＋｜Ｍ２＝＝＋＋到曲线如果将此问题推，结论将如何呢？ｒ＾ｒｗＴｎＴｒ１Ｍｉ７＾２＾＾－－＝＿．首先，在双曲线ｉ中，当点尺的坐标为ｔｉｔｉ；ｔ４ｉ２＾２ｙｈｈｇｇＩ艺尤丨１尤（丨－Ｉ１２１２１０—￣￣￣￣—＝土Ｃ０＋７．（，）时，Ｔｆ依然成立，而对于／２２ｌ２ｎ７２７Ｖ？２Ｔ２／１ｘｎ＾Ｔｆｉ－４－｜Ｐ尺｜＾４ｍｘｃｏｓ６（ｍｘｌｍｃｏｓ０＋ｎｓｉｎ０Ｉ丨ＩＫＱＩｂ／ｌｌ

8、）（）￣ｕ］ｍｘ〇＋是否为定值问题，并不是对任意＾２２４ｍ－ｎｉｎ＞Ｖｃｏｓ０＋４（ｍｎｘｌ）ｓ６．＝￣￣—当且仅当ｍ＝ｎ，双曲线都成立２？ｍｘ－＼０ｕ２２ｎ－ｍ１１推广３已知双曲线－＝ｌａ＞０６＞０２，２Ｈｎ２＂丄＾（）－—即？＝＝ｃ＋＝ａ。＾时，ｂｒｒ＾ｒｒ＾Ｔ＇一ｒ—ｅ坐标轴上的离心率为，过点尺的直线