311两角和与差的余弦公式.ppt

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1、第三章三角恒等变换3.1.1.两角和与差的余弦公式大家可以猜想，是不是等于呢?（一）导入：我们在初中时就知道，由此我们能否得到根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式，在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）（二）探讨过程：在平面直角坐标系xOy内,作单位圆,并作α、β和–β角,使α角的始边为Ox，交圆O于P1,终边交圆O于P2;β角的始边为OP2,终边交圆O于P3;–β角的始边为OP1,终边交圆O于

2、P4;此时,P1.P2.P3.P4的坐标分别为P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(–β),sin(–β)).由︱P1P3︱=︱P2P4︱及两点间距离公式,得：[cos(α+β)–1]²+sin²(α+β)=[cos(–β)–cosα]²+[sin(–β)–sinα]².整理得:cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.证明:如图所示cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβcos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ公式的结构特征:左边是复角α+β的余弦,右边是单角α、β的余弦积与正弦积的差.将替

3、换为cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ简记：cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ公式的结构特征:左边是复角α+β的余弦,右边是单角α、β的余弦积与正弦积的和.简记：两角和与差的余弦公式：思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.例1.不查表,求cos(–435°)的值.解:cos(–435°)=cos75

4、°=cos(45°+30°)=cos45°·cos30°–sin45°·sin30°应用举例不查表,求cos105°和cos15°的值.cos15°=答案：cos105°=练习例3.已知cos(α–30°)=15/17,α为大于30°的锐角,求cosα的值.分析：α=(α–30°)+30°解：∵30°＜α＜90°,∴0°＜α–30°＜60°,由cos(α–30°)=15／17,得sin(α–30°)=8／17,∴cosα=cos[(α–30°)+30°]=cos(α–30°)cos30°–sin(α–30°)sin30°=15／17×√3／2–8／17×1／2=（15√3–8）／34.例4.

5、在△ABC中,cosA=3／5,cosB=5／13,则cosC的值为().分析:∵C=180°–(A+B)∴cosC=–cos(A+B)=–cosAcosB+sinAsinB已知cosA=3／5,cosB=5／13,尚需求sinA,sinB的值.∵sinA=4／5,sinB=12／13,∴cosC=–3／5×5／13+4／5×12／13=33／65.33／65例5.cos25°cos35°–cos65°cos55°的值等于().(A)0(B)1／2(C)√3／2(D)–1／2解:原式=cos25°cos35°–sin25°sin35°=cos(25°+35°)=cos60°=1／2.故选:(

6、)B练习1.已知cosθ=–5／13,θ∈(π,3π／2)求cos(θ+π／6)的值.2.cos²15°–sin²15°=----------。3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则△ABC是().(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角三角形(D)不确定.(12–5√3)／26√3／2A答案:1.();2.();3.().课堂练习（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβcos

7、(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式。使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.小结作业P1401，3.