5-两自由度系统的振动.ppt

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1、第5章两个自由度系统的振动单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在相互“耦合”现象。所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程“解耦”，然后按单自由度的分析方法求解。两自由度是多自由度系统最简单的情况。建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样,但难度更大。5.2.1运动微分方程（P104-106）5.2两自由度系统的振动方程——刚度矩阵和质量矩阵5.2振动方程标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：坐标原点

2、仍取在静平衡位置写成矩阵形式5.2振动方程式中：5.2振动方程[M]称为系统的质量矩阵，[K]称为刚度矩阵，[C]称为阻尼矩阵，{x}为系统的位移列阵，{F(t)}为外激励列阵。对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。由于矩阵[M]、[K]、[C]的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。5.2振动方程5.2.2刚度影响系数与刚度矩阵刚度矩阵[K]中的元素称为刚度影响系数，其kij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在i坐标处施加的广义力。具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。刚度影响

3、系数反映了系统弹性元件的影响特性。5.2振动方程5.2.3惯性影响系数与质量矩阵质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。惯性影响系数反映了系统质量元件的影响特性。5.2振动方程根据刚度影响系数和质量影响系数，可以写出下列关系：写成矩阵形式5.2振动方程柔度影响系数Rij的力学意义是:在j坐标处作用单位广义力,引起i坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵[R]。由材料力学的位移互等定理可知Rij＝Rji，即柔度矩阵是

4、对称的。柔度影响系数反映了系统弹性元件的影响特性。5.3位移方程5.3两自由度系统的位移方程——柔度矩阵5.3.2柔度影响系数与柔度矩阵(P114-117)对标准m-k-c振动系统，质量m1和m2上的总位移为这就是以柔度矩阵表示的位移形式的振动方程。5.3位移方程5.3.1位移方程(P113-114)因为[R]为正定矩阵，于是位移方程又可写为与力形式的方程比较知[K]=[R]－1，[R]=[K]－1即对于正定系统[R]和[K]互为逆矩阵。5.3位移方程例：用影响系数法求标准m-k-c系统的刚度矩阵，质量矩阵和柔度矩阵。5.2振动方程【例5-3-1】求系统的振动微分方程。已知梁的抗弯刚

5、度为EI。解：用影响系数法。由材料力学挠度公式5.3位移方程则而则方程为5.3位移方程若写为力方程形式则方程为下面用影响系数法直接求[K]:5.3位移方程设x1=1,x2=0，则由材料力学公式有：同理有求出各个刚度系数即组成刚度矩阵[K]。作业：5-2，65.3位移方程对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程。拉格郎日方程为：用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程拉格朗日方程其中：T为系统的动能，V为势能，Qi为与广义位移xi对应的非有势力的广义力，drk为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移。实际计算广义力Qi时，

6、通常假设与xi对应的广义虚位移dri不等于零，其它虚位移都等于零。（i＝1，2）拉格朗日方程【例】用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系统微振动微分方程。解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置。拉格朗日方程静平衡位置：则：拉格朗日方程拉格朗日方程计算广义力，设m1产生虚位移dx1，而dx2＝0，则同样设m2产生虚位移dx2，而dx1＝0，则拉格朗日方程代入拉格朗日方程得整理写成矩阵形式即可。拉格朗日方程【T5-30】用拉格郎日方程建立系统微振动微分方程。解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置x1x2D1D2而则拉格朗日方程所以拉格朗日方程计算广义力，设只有x1处产生虚位移dx1，则同

7、样设x2处产生虚位移dx2，则代入拉格朗日方程即可。用牛顿定律更简单一些。作业：T5-29拉格朗日方程x1x2只给出公式，不作严格推导。1.质量矩阵的形成系统的动能可以表示为能量法用能量法确定振动系统的[M]、[K]、[C]记则[M]即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。2.刚度矩阵的形成势能可写为[K]即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。能量法3.阻尼矩阵的形成线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为[C]即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。能量法【例5-2-3】求[M