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《高考数学一轮复习课后限时集训47立体几何中的向量方法理北师大版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课后限时集训47立体几何中的向量方法建议用时：45分钟一、选择题1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )A．120°B．60°C．30°D．60°或30°C [设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sinβ＝
2、cosγ
3、＝
4、cos120°
5、＝.又0°≤β≤90°，∴β＝30°.]2．在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成角大小为( )A.B.C.D.D [建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0,0,0),
6、C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0).∴＝(1,1,0)，＝(－1,1，－1)，∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴⊥，∴AC与B1D所成的角为.]3.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )A.B.C.D.A [设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝.]4
7、．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°A [由已知AB2＋BC2＝AC2，得AB⊥BC.以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以＝，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，cos〈，n〉＝＝＝，〈，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1
8、C所成的角为30°.故选A.]5.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角BACM的余弦值为( )A.B.C.D.A [因为BC⊥平面PAB，PA平面PAB，所以PA⊥BC，又PA⊥AB，且BC∩AB＝B，所以PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，M，所以＝(1,2,
9、0)，＝，求得平面AMC的一个法向量为n＝(－2,1,1)，又平面ABC的一个法向量＝(0,0,2)，所以cos〈n，〉＝＝＝＝.所以二面角BACM的余弦值为.]二、填空题6．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________． [以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，
10、z)，则所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝
11、cos〈n，〉
12、＝＝.]7．(2019·汕头模拟)在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是________． [如图所示，建立空间直角坐标系，则依题意可知，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，可知＝是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的一个法向量n＝(x，y，z)，因为＝
13、，＝，所以即令x＝2，则有y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1,1)．设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝.]8.(2019·北京模拟)如图所示，四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，那么线段PM的长度是________． [如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，∴＝，∵E是棱PB的中点，∴E(1,1,1)，设M(0,2－m，m)，则
14、＝，∴＝＝＝，解得m＝，∴M，∴PM＝＝.]三、解答题9.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．[解] 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接O
