常微分方程定性理论3.ppt

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1、(三)不定号(变号)情形:G(θ)=0有有限实根θk(k=1,2,…,N)(m≤n,N≤2m+2)系统(4.3)的极坐标形式是:这里,取ε>0,rk充分小,作扇形区域因为在区域的各个小扇形中G(θ)定号,所以没有轨线进入奇点.设G(θk)=0,H(θk)=Hk≠0,G(θk)=C(θ-θk)j+o(

2、θ-θk

3、j),整数j≥1.所以定理3①设为j奇数,CHk>0,则在方向θ=θk上存在一个第一类典型域.所以有无数条轨线沿θ=θk进入奇点O;②设j奇数,CHk<0则在方向θ=θk上存在一个第二类典型域.所以有一条或无数条轨线沿θ=θk进入奇点O;③设j为偶数,则在方向θ=θk上存在一个

4、第三类典型域.所以有无数条轨线沿θ=θk进入奇点O或没有轨线进入O.证明:①可取ε>0,rk充分小,使得扇形区域中除O外无其它的奇点,G(θ)=0无其它实根,H(θ)+o(1)≠0.这样,θ=θk是这个扇形区域内唯一特征方向,这个扇形区域是典型域.在上,同号;在上,反号.②在上,同号;在上,反号.③在上,同号.§5奇点的三类判别问题1)第一判定问题:某特征方向上存在第二类正常区域时,在该区域内是有唯一一条还是有无穷多条轨线趋于奇点?2)第二判定问题:某特征方向上存在第三类正常区域时,在该区域内是有无穷多条还是没有轨线趋于奇点?3)中心焦点判定问题:定号情形.一、第一判定问题引理1对于

5、若存在连续D(r)≥0,满足则沿任何方向θ=θk至多有一条轨线进入奇点.证明设有两条轨线θ=θ1(r),θ=θ2(r)沿θ=θk进入奇点O.可设θ1(r)>θ2(r),01时,那么系统有唯一轨线沿θ=θk进入奇点O.证明见张芷芬书P80—82

6、.推论1设nm,Xn中不含因子y,附加项满足条件(1),(2),则沿θ=0,π各有唯一轨线进入O.二、第二判定问题引理2考虑方程其中j是偶数R>0,S≥0.如果那么存在①当S

7、θ-θk

8、<ε中,(4)有积分曲线沿θ=θk进入O;②当S>S0时,(4)没有积分曲线沿θ=θk进入O.定理2(R.Lohn)设θ=θk是G(θ)=

9、0的j重根,j是偶数.G(j)(θk)·H(θk)≠0,令①设在扇形区域中,当ε,rk足够小时则在中有系统的无数条轨线沿θ=θk进入奇点O;②设则在中无轨线沿θ=θk进入奇点.其中三、中心焦点判定问题m=n时的定号情形.当系统为解析时,不存在中心焦点(张芷芬书P236—237定理2.1的推论).常用方法有:1.极坐标法;2.Poincaré-Birkhoff标准形法(Poincaré形式级数法);3.Lyapunov常数法;4.后继函数法;5.平均法;6.内在调和平衡法;7.Lyapunov-Schmidt方法………..方法(一)极坐标法G(θ)定号,设G(θ)>0,θ∈[0,2π]

10、,记则I<0时奇点为稳定焦点,I>0时为不稳定焦点(均为粗焦点).I=0时?引理3设h(x)为以T为周期的连续函数,则其中证法(一)将展开为一致收敛的Fourier级数再积分.证法(二)证是以T为周期的函数.考虑或Φ,Ψ在r2=x2+y2≤r12内解析.对于方程(1)无实根虚根所以(1)标准化后成为对于方程(1′)G(θ)=-β≠0,H(θ)=α,考虑α=0,β≠0的方程组(1′).在极坐标下,(1′)成为R=o(r),Q=o(1),R,Q,Ri均为2π的周期函数.对于方程(2),经极坐标变换化为当G(θ)＝－Xm(θ)sinθ+Ym(θ)cosθ≠0时,m为奇数．上述方程组等价于G

11、(θ)=qm+1≠0,H(θ)=pm+1.作变换则所以，　　　　闭轨闭轨．方程(2′),化为这里，方程(2″)的形式与方程(3)一样．因此方程(1)和(2)均可在r