2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质练习新人教A版.docx

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1、2.3.2双曲线的简单几何性质(建议用时：40分钟)基础篇一、选择题1．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　)A．B．　　C．　　D．【答案】C　[由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.]2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l(　　)A．4条B．3条C．2条D．1条【答案】B　[因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1

2、,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B．]3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于(　　)A．2B．2C．4D．4【答案】C　[由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C．]4．若实数k满足00,16－k>0，

3、故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D．]5．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为(　　)A．B．C．D．2【答案】D　[直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，原点到直线l的距离d＝＝＝c即ab＝c2，所以a2(c2－a2)＝c4.整理得3e4－16e2

4、＋16＝0，解得e2＝4或e2＝又b>a>0，所以e2＝1＋>2，故e＝2.]二、填空题6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线方程为________．【答案】－y2＝1　[由题意可得，解得，故所求双曲线方程为－y2＝1.]7．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________.【答案】(1，)　[e2＝1＋，由a>1得10)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为

5、________．【答案】2　[双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则A(2,2b)，B(2，－2b)，

6、AB

7、＝4b，从而S△AOB＝×4b×2＝8.解得b＝2，所以c2＝5，从而焦距为2.]三、解答题9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．【答案】由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴设双曲线方程为－＝1.又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.∴所求双曲线的方程为－＝1.由a2＝24，c2＝48，得e2＝＝2，又e>0，∴e＝.10

8、．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围.【答案】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由直线l与双曲线交于不同的两点得：即k2≠且k2<1.①设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB

9、＝，由·>2得xAxB＋yAyB>2，而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋＋2＝，于是>2，解此不等式得

10、＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A．]2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足

11、PF2

12、＝