2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积的坐标表示学案新人教A版.docx

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1、6．3.5　平面向量数量积的坐标表示考点学习目标核心素养平面向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P34－P35的内容，思考以下问题：1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？1．平面向量数量积的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．■名师点

2、拨公式a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．两个公式、一个充要条件(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则

7、a

8、＝．(2)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝．(3)两个向量垂直的充要条件设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．■名师点拨若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，

9、y2－y1)，

10、

11、＝，即A，B两点间的距离为.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　)(2)

12、

13、的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．(　　)答案：(1)×　(2)√已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是(　　)A．23　　　　B．7　　　　C．－23　　　　D．－7答案：D已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若a⊥b，则x＝(　　)A．1B．2C．4D．－4答案：C已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则向量a，b的夹角θ＝______.答案：120°数量

14、积的坐标运算　已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1　　　　　　　　　B．0C．1D．2【解析】　因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.【答案】　C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　)A．(－15，12)　B．0　　　C．－3　　　　D．－

15、11解析：选C.依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为＝2，所以F(，2)．所以＝(2，1)，＝(，2)－(2，0)＝(－，2)，所以·＝(2，1)·(－，2)＝2×(－)＋1×2＝.答案：平面向量的模　(1)设平面向量a

16、＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则

17、3a＋b

18、等于(　　)A.B.C.D.(2)已知

19、a

20、＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及

21、a＋b

22、.【解】　(1)选A.因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，

23、3a＋b

24、＝.(2)设a＝(x，y)，则由

25、a

26、＝2，得x2＋y2＝52.①由a⊥b，解得2x－3y＝0.②联立①②，解得或所以a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，所以

27、a＋b

28、＝.求向量的模的两种基本策略(1)字

29、母表示下的运算利用

30、a

31、2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝

32、a

33、2＝x2＋y2，于是有

34、a

35、＝.　　已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则

36、

37、＝________．解析：设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量＝(4，－1)，所以＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，所以＝(3，2)，

38、

39、＝＝.答案：平面向量的夹角(垂直)　已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；

40、(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，

41、a

42、＝＝5，

43、b

44、＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cosθ＝＝＝.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.利用数量