《高中数学联赛试题-立体几何》.doc

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1、第五讲立体几何立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容。竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算。解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法。一、立体几何中的排列组合问题。例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（A）4；（B）8；（C）12；（D）24。分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线。考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条

2、可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为个。例二、（1995年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是。分析：就四棱锥P—ABCD而言，显然顶点P的颜色必定不同于A、B、C、D四点，于是分三种情况考虑：①若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：（种）②若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：（种）③若使用五种颜

3、色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为：（种）故不同染色方法种数是：420种。二、与角有关的计算。立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种。其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是；二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面相交；②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱

4、的垂线；③根据三垂线定理或逆定理。另外还可以根据面积射影定理得到。式中表示射影多边形的面积，表示原多边形的面积，即为所求二面角。OCBA例三、直线和平面斜交于一点，是在内的射影，是平面内过点的任一直线，设求证：分析：如图，设射线任意一点，过作于点，又作于点，连接。有：所以，。评注：①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用。过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线，如果斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上。利用全等三角形即可证明结论成立。②从上述等式的三项可以看出值最小，于是可得结论：平面的一条斜

5、线和平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小。例四、（1997年全国联赛一试）如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得：，记，其中表示EF与AC所成的角，其中表示EF与BD所成的角，则：FEDCBAG（A）在单调增加；（B）在单调减少；（C）在单调增加；在单调减少；（D）在为常数。`分析：根据题意可首先找到与对应的角。作EG∥AC，交BC于G，连FG。显然FG∥BD，∠GEF=，∠GFE=。∵AC⊥BD，∴EG⊥FG∴ODCBA例五、（1994年全国联赛一试）已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹

6、角都等于，则。分析：正方体的12条棱可分为三组，一个平面与12条棱的夹角都等于只需该平面与正方体的过同一个顶点的三条棱所成的角都等于即可。如图所示的平面就是合乎要求的平面，于是：D1C1B1A1DCBA例六、设锐角满足：。求证：。分析：构造长方体模型。构造如图所示的长方体ABCD—A1B1C1D1，连接AC1、A1C1、BC1、DC1。过同一个顶点的三条棱AD、AB、AA1与对角线AC1所成的角为锐角，满足：不妨设长方体过同一个顶点的三条棱AD、AB、AA1的长分别为。则：以上三式相乘即可。证明二：因为为锐角，故：，，同理：，三式相乘。

7、例七、（1994年全国联赛一试）在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（A）；（B）；（C）；（D）。分析：根据正n棱锥的结构特征，相邻两侧面所成的二面角应大于底面正边形的内角，同时小于，于是得到（A）。例八、（1992年全国联赛一试）设四面体四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，它们的最大值为S，记，则一定满足（A）；（B）；（C）；（D）。分析：因为所以。特别的，当四面体为正四面体时取等号。另一方面，构造一个侧面与底面所成角均为的三棱锥，设底面面积为S4，则：，若从极端情形加以考虑，当三棱锥的顶点落在底面上时，一方面不

8、能构成三棱锥，另外此时有，也就是，于是必须。故选（A）。三、有关距离的计算。例九、（2003年全国联赛一试）将八个半径为1的小球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及