3-4欧氏空间.ppt

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1、二、规范正交基一、向量的内积§3.4欧氏空间三、正交矩阵与正交变换一、向量的内积立体向量a与b的数量积(内积)定义式为其中j为向量a与b的夹角.a=(a1,a2,a3)与b=(b1,b2,b3)的内积坐标计算公式为向量的内积设有n维向量a=(a1,…,an),b=(b1,…,bn),称[a,b]为向量a与b的内积.向量空间带有内积运算,就称为欧氏空间.记内积的性质向量的内积设有n维向量a=(a1,…,an),b=(b1,…,bn),称[a,b]为向量a与b的内积.向量空间带有内积运算,就称为欧氏空间.记设a,b,c为n维向量,k为实数,则有(

2、1)[a,b]=[b,a];(4)[a,a]0,等号成立的充分必要条件是a=0.(2)[ka,b]=k[a,b];(3)[a+b,c]=[a,c]+[b,c];提示:向量的范数范数的性质设a,b为n维向量,k为实数,则有(2)齐次性

3、

4、ka

5、

6、=

7、k

8、

9、

10、a

11、

12、;(3)三角不等式

13、

14、a+b

15、

16、

17、

18、a

19、

20、+

21、

22、b

23、

24、.(1)非负性

25、

26、a

27、

28、0,等号成立的充分必要条件是a=0;即称为向量a的范数(或长度),记为

29、

30、a

31、

32、.对于立体向量a,b因此证明施瓦茨(Schwarz)不等式提示:对于立体向量a,b因此当

33、

34、a

35、

36、=

37、

38、b

39、

40、=1时,一

41、般地,对于非零向量a,b,而当a或b为零向量时,不等式两边都等于0.由恒等式得两向量的夹角定义非零向量a与b的夹角为规定零向量与任一向量成任意角.若[a,b]=0,则称向量a与b正交.提示:对于立体向量a,b范数为1的向量,称单位向量.对于立体向量a,b其中j为向量a与b的夹角非零向量a的单位化(或规范化)向量例1求与a=(1,1,1),b=(1,-2,1)同时正交的单位向量.解设非零向量x=(x1,x2,x3)与a,b同时正交,解得所求为则有表示与a同向(即夹角为零)的单位向量.定理1设e1,…,er为r维向量空间V中一组两两正交的单位向量

42、,则e1,…,er为V的一个基,且对V中任一向量a有表示式二、规范正交基几何背景设e1,…,er为r维向量空间V中一组两两正交的单位向量,则e1,…,er为V的一个基,且对V中任一向量a有表示式定理1二、规范正交基证明设则于是向量a可惟一地表示为因此e1,…,er线性无关,从而为V的一个基.由此即得所证.设e1,…,er为r维向量空间V中一组两两正交的单位向量,则e1,…,er为V的一个基,且对V中任一向量a有表示式r维向量空间V中任意一组两两正交的单位向量e1,…,er称为V的一个规范正交基.二、规范正交基定理1规范正交基V为平面POQ,A

43、A与V正交.几何背景定理2设e1,…,er为Rn的子空间V的一个规范正交基,对Rn中任一向量a,记则a-a与V正交,即a-a与V中每个向量都正交.称a为向量a在向量空间V上的正交投影向量.定理2设e1,…,er为Rn的子空间V的一个规范正交基,对Rn中任一向量a,记则a-a与V正交,即a-a与V中每个向量都正交.证明因为在基下的坐标是唯一的,所以由定理1知对V中任一向量即a-a与x正交.问题已知a1,…,ar为V的一个基,如何求V的一个规范正交基?施密特(Schmidt)正交化过程记Vk=L(a1,…,ak),设ak为ak在向

44、量空间Vk-1上的正交投影向量,取则e1,…,ek为Vk的一个规范正交基.注意因此e1,…,ek为Vk的规范正交基.假设e1,…,ek-1为Vk-1的一个规范正交基.提示:称e1,…,er为a1,…,ar的规范正交化.问题已知a1,…,ar为V的一个基,如何求V的一个规范正交基?施密特(Schmidt)正交化过程记Vk=L(a1,…,ak),设ak为ak在向量空间Vk-1上的正交投影向量,取则e1,…,ek为Vk的一个规范正交基.提示:解例2设a1=(1,2,-1),a2=(-1,3,1),a3=(4,-1,0),试用Schmidt正交化过

45、程把这组向量规范正交化.e1,e2,e3即为所求.设e1,…,en为Rn的一个规范正交基,三、正交矩阵与正交变换则有于是PTP=E.反之,若PTP=E,则P的列向量组是Rn的一个规范正交基.正交矩阵设P为方阵,如果PTP=E,就称P为正交矩阵.P为正交矩阵,也即P-1=PT.P为n阶正交阵的充分必要条件是P的列(行)向量组为Rn的一个规范正交基.记矩阵例3设A,B为n阶正交阵,证明AB也为正交阵.证明由ATA=E,BTB=E,得因此AB为正交阵.正交变换若P为正交阵,则称线性变换y=Px为正交变换.正交变换保持向量的内积不变.证明设y=Px为

46、正交变换,y1=Px1,y2=Px2,坐标旋转变换是正交变换.正交变换具有保持几何形状(长度和夹角)不变的优点.则有作业习题3.4:1.3.5.(1)8.