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时间:2020-02-01
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1、一、有关概念泊松方程:调和方程的解法Green函数法调和方程(拉普拉斯方程):u称为调和函数,或称u调和。①三、调和函数的积分表达式:其中点四、格林函数,它在区域内关于变量是到处调和的,并且在区域的边界上与函数在边界上的值相同,即格林第二公式若均调和,则它们满足格林第一公式其中表示外法向导数。由格林第二公式得将此式与①式相减,就得到其中函数就称为方程狄利克雷问题的格林函数(或者称为狄利克雷问题的源函数)。因此的解可表示为格林函数的性质性质1格林函数除一点外处处满足方程①,而当时,趋于无穷大,其阶数和相同。性质2在边界上格林函数恒等于零。性质3在区域中成立着不等式:证:其中为的边界,在内是调
2、和函数。由于在点是调和函数,而当时,故以为中心,适当小的为半径作球,总可以使在上为正。又在及围成的域内是调和的,且由极值原理知,在该域内,令,则知在整个域内。又在内处处调和且,由极值原理知,在整个域内,所以在内即性质4格林函数在自变量及参变量之间具有对称性,即设为区域中的两点,则性质5证明:因为边值问题的解可表示为而解,代入上式即证得结论。
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