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1、课时作业13 抛物线的简单几何性质
2、基础巩固
3、(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )A．1条 B．2条C．3条D．4条解析：可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．答案：B2．过抛物线x2＝4y的焦点，作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则
4、P1P2
5、＝( )A．5B．6C．8D．10解析：抛物线x2＝4y
6、的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以
7、P1P2
8、＝y1＋y2＋2＝8.答案：C3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2)解析：设A(x，y)，则y2＝4x，①又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x－x2－y2＝－4.②由①②可解得x＝1，y＝±2.答案：B4．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B
9、两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )A．－1B．0C．1D．2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不满足OA⊥OB，故b＝2.答案：D5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.B.C.D.解析：易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB
10、的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长
11、AB
12、＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin30°＝，所以△OAB的面积S＝
13、AB
14、·d＝.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若
15、AB
16、＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知
17、AB
18、＝
19、AF
20、＋
21、BF
22、＝
23、x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为.因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝.答案：7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若
24、BC
25、＝2
26、BF
27、，且
28、AF
29、＝3，则此抛物线的方程为________．解析：如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：
30、AF
31、＝
32、AA1
33、，
34、BF
35、＝
36、BB1
37、，因为
38、BC
39、＝2
40、BF
41、，所以
42、BC
43、＝2
44、BB1
45、，所以∠BCB1＝30°，所以∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过
46、F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l于x轴于K，则
47、KF
48、＝
49、A1F1
50、＝
51、AA1
52、＝
53、AF
54、，即p＝，所以抛物线方程为y2＝3x.答案：y2＝3x8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________.解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A，B，所以
55、AF
56、＝p，
57、BF
58、＝2p，所以＝.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2p
59、x(p>0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．解析：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛物线上．根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称．由题意得A(2,2)在抛物线y2＝2px上，所以p＝1，抛物线的方程为y2＝2x.10．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①∵y1＋y2＝2，代入①得k＝
