第6章函数逼近2.ppt

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1、第6章函数逼近2基础教学部数学教研室彭晓华立体化教学资源系列——数值分析复习6.3.1正交多项式【定义2】为若非负函数上满足条件：（1）对一切n≥0，存在.（2）对非负连续函数f（x），若则在[a,b]上f（x）=0.【定义3】在[a,b]内积性质：（1）（2）k为常数f与g在数值分析——函数逼近则称上的权函数上的内积：【定义4】f(x)与g(x)在区间[a,b]上带权正交：【注】(1)正交函数序列(2)正交多项式序列:正交函数序列的是i次多项式.(3)正交多项式序列一定是线性无关序列.（3）（4）当f（x）≠0时，（f,f）>0数值分析——函数逼近6.4最佳平方逼

2、近为n次多项式线性空间:广义多项式空间：数值分析——函数逼近上的权函数.设的2-范数定义为：则与在2-范数意义下的距离定义为：即：6.4.1最佳平方逼近及其计算一、最佳平方逼近逼近问题:求使满足数值分析——函数逼近令求达到最小使设对即法方程数值分析——函数逼近（6-11）（6-10）二、最佳平方逼近的计算法方程存在唯一解使Sn*(x)为最佳平方逼近:数值分析——函数逼近也即.8证明：因为所以满足(6.10)式，即也即，所以故是法方程（6.11）的解，其中三、平方误差数值分析——函数逼近10四、常用的最佳平方逼近对于取由于则法方程的系数矩阵法方程例5求[0，1]上二次

3、最佳平方逼近多项式.解：法方程数值分析——函数逼近即为所求平方误差【注】H为Hilbert矩阵，是病态的.数值分析——函数逼近6.4.3正交多项式族作最佳平方逼近是区间[a,b]上带权的正交多项式序列法方程简化为：最佳平方逼近多项式为：平方误差：数值分析——函数逼近为了克服法方程的病态，用正交多项式基底来构造逼近多项式【定理7】由下列公式定义的多项式序列数值分析——函数逼近是正交的6.4.2正交多项式已知区间[a,b]及权函数可构造正交多项式序列.这样得到正交多项式序列有以下性质：(1)最高次项系数为1.(2)(3)(4)是的线性组合.与任一次数的n个根都是在(a，

4、b)内的单重实根.数值分析——函数逼近小于k的多项式正交.且若：上带权是在区间的正交多项式序列，则一、勒让德（Legendre）多项式上，取权函数得勒让德多项式：罗德利克表达式:数值分析——函数逼近的系数.【性质1】正交性：【性质2】奇偶性：【性质3】递推关系：数值分析——函数逼近首1勒让德多项式：【性质1】正交性：【性质2】奇偶性：【性质3】递推关系：勒让德多项式图形：数值分析——函数逼近二、切比雪夫多项式[-1，1]上取可得切比雪夫数值分析——函数逼近的图形如图所示：多项式20三、拉盖尔（Laguerre）多项式正交性递推关系四、第二类切比雪夫多项式[-1，1]

5、上正交性递推关系正交性递推关系五、埃尔米特（Hermite）多项式数值分析——函数逼近6.4.3正交多项式族作最佳平方逼近是区间[a,b]上带权的正交多项式序列法方程简化为：最佳平方逼近多项式为：(1)切比雪夫:(2)勒让德:平方误差：数值分析——函数逼近【注】（1）用正交函数族作最佳平方逼近避免了法方程组的病态.（2）首1n次式中勒让德在[-1，1]上与零的平方误差最小.平方误差:数值分析——函数逼近例6求[-1，1]上的二次最佳解：勒让德多项式平方逼近多项式25逼近多项式平方误差6.5离散数据的最小二乘法应用：曲线拟合、线性预测及超定方程组的求解.几何意义：如图

6、数值分析——函数逼近27问题的提法：给定数据表.(1)逼近函数类Ф:(2)最佳的意义：误差平方和最小.6.5.1最小二乘解的计算求S*(x)，等价于求多元函数极值的问题.令利用极值的必要条件.记数值分析——函数逼近由（6.15）式写成，（6.15）即数值分析——函数逼近由于线性无关，得唯一解ak*(k=0,1,…,n)平方误差：6.5.2常用的多项式拟合(1)直线拟合（n=1）：(2)二次拟合（n=2）：法方程：数值分析——函数逼近满足法方程:例8求实验数据表的最小二乘拟合函数.解：描点作图：取计算得到：列法方程：解得：得到最小二乘拟合曲线:平方误差:数值分析——函

7、数逼近例9求一形如的经验公式，使它与给出的数据拟合.解：非线性函数线性化：两边取对数，得到：其中计算得：法方程：解得：所以所求最小二乘拟合的经验公式为:平方误差：数值分析——函数逼近6.6离散数据拟合的MATLAB函数一、polyfit1．polyfit（）函数：求离散数据的多项式拟合.命令格式为：a=polyfit(x,y,n)2．polyval（）函数:求多项式在某一点处的函数值.命令格式为:y=polyval(p,x)例8利用polyfit作二次拟合，输出多项式的系数,并利用polyval计算拟合多项式值，画出拟合曲线.x=[-2-101234];y=[1