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1、3.2一般形式的柯西不等式杨阳回顾旧知1.二维形式的柯西不等式的代数形式?若都是实数，则当且仅当时，等号成立.2.二维形式的柯西不等式的向量形式？设是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数,使时，等号成立.从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？思考0xzy0xy观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到.将空间向量的坐标代入，化简得，当且仅当共线时，即.或存在一个数,使得时，等号成立.探究对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一
2、般形式的柯西不等式吗？一般形式的柯西不等式(2)分析如果设不等式(2)就是AC≥B2.我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明.证明当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，(2)式显然成立.设a1,a2,…,an中至少有一个不为0，则a12+a22+…+an2>0.因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,所以二次函数f(x)的判别式△≤0，即4(a1b1+a2b2+…+anbn)-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+b
3、n2)≤0.于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式△=0，以上不等式取等号.此时，有唯一实数x，使aix=bi(i=1,2,…,n).若x=0，则b1=b2=…=bn=0,(2)式成立；若x≠0，则有，总之，当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)时，等号成立.结论定理（一般形式的柯西不等式）设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b
4、12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.例1分析用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.根据柯西不等式，有(12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)≥(1×a1+1×a2+…+1×an)2,所以n(a12+a22+…+an2)≥(a1+a2+…+an)2即证明变式1已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.分
5、析上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明.证明例2分析由x+2y+3z=1以及的形式，联系柯西不等式，可以通过构造作为一个因式而解决问题.已知x+2y+3z=1以及x2+y2+z2的最小值.解：变式21.一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kb
6、i(i=1,2,…,n）时，等号成立.课堂小结2.一般形式的柯西不等式的应用.对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。掌握柯西不等式的结构特点，灵活应用.
