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1、1.3.1函数的单调性利辛高级中学朱心伟观察下列函数图象，你能描述下它们的变化规律吗？xyo函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.如何描述函数图象的“上升”“下降”呢?以二次函数f(x)=x2为例,列出x,y的对应值表:x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…对比左图和上表,可以发现什么规律?图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-∞,0]上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小;图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+∞)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.思考如何利用函数
2、解析式f(x)=x2描述“随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”?对于二次函数f(x)=x2,我们可以这样来描述“在区间(0,+∞)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?定义:如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(
3、x1)＞f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.例1下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.例2物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正
4、常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.证明:12451.取值2.作差3.变形4.定号35.下结论用定义证明函数在区间上是增或减函数的步骤：4.确定差的符号。5.作出结论。1.在此区间上任取两个实数,且。2.将它们的函数值作差：3.作差后变形处理(因式分解,通分等)练习：证明函数在上是减函数.小结:1.函数的单调性概念;2.增(减)函数的定义;3.增(减)函数的图象特征;4.增(减)函数的判定;5.增(减)函数的证明.练习1画出下列函数图象，并写出单调区间：yxO2121-1-2练习2证明函数f(
5、x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。想一想：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上的单调性呢？反例：取x1=-1,x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1可见x1f(x2)不一定成立。在整个定义域内f(x)=1/x是不是减函数呢？两区间之间用和或用逗号隔开.能否写成yxOx1x2
