高中数学第二章空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离公式学案北师大版.docx

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1、3.1　空间直角坐标系的建立3.2　空间直角坐标系中点的坐标3.3　空间两点间的距离公式[学习目标]　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．　2.掌握空间两点间的距离公式.【主干自填】1．空间直角坐标系(1)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让四指与大拇指垂直，四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指指向z轴正向，这样的坐标系称右手系．(2)坐标系中相关概念如图所示的坐标系中，O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间中任一点

2、P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标．(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立了一一对应的关系．3．长方体的对角线(1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．(如图)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝.4．空间两点间的距离公式(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离

3、OP

4、＝.(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离

5、AB

6、＝.【即时小测】　思考下列问题(1)画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90°？提示：不是．空间直角

7、坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．(2)确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？提示：确定点的位置一般有三种方法：①在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．②确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置．③以原点O为一个顶点，构造棱长分别为

8、x0

9、，

10、y

11、0

12、，

13、z0

14、的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．(3)空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？提示：空间中两点间的距离与两点的顺序无关，两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此，距离公式也可以写成

15、P1P2

16、＝.(4)已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？提示：由为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P到原点的距离为定值

17、r

18、.因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，

19、r

20、为半径的球面．当r＝0时，x2＋y2＋z2＝0表示原点．例1　在长方体ABC

21、D－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．[解]　如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz.∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B1在z轴上

22、的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．类题通法建系确定点的坐标的原则(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．　如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．解　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴

23、建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且

24、EA

25、＝.∴E点的坐标为.∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为.同理可得G点坐标为.例2　求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．[解]　如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1，2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB