高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义讲义.docx

《高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义讲义.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1；(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被

2、减向量的向量所对应的复数．(3)复平面内的两点间距离公式：d＝

3、z1－z2

4、.其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，则

5、

6、＝

7、z1－z2

8、＝

9、(x1＋y1i)－(x2＋y2i)

10、＝

11、(x1－x2)＋(y1－y2)i

12、＝.2．复数模的两个重要性质(1)

13、

14、z1

15、－

16、z2

17、

18、≤

19、z1±z2

20、≤

21、z1

22、＋

23、z2

24、；(2)

25、z1＋z2

26、2＋

27、z1－z2

28、2＝2

29、z1

30、2＋2

31、

32、z2

33、2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．(　　)(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．(　　)(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．答案　(1)6＋i　(2)－11i　(3)1－

34、i探究　　复数的加减运算例1　计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)；(2)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解]　(1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.(2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】　计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)(

35、i2＋i)＋

36、i

37、＋(1＋i)．解　(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.(2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋(1＋i)＝1＋2i.探究　　复数加减运算的几何意义例2　已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．[解]　解法一：设D点对应复数为x＋yi(x，y∈R)，则D(x，y)．又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)，∴AC中点为，BD中点为.∵平行四边形对

38、角线互相平分，∴∴即点D对应的复数为3＋5i.解法二：设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i.由已知＝，∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i，∴∴即点D对应的复数为3＋5i.[条件探究]　若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，求第四个顶点对应的复数．[解]　设1＋3i，－i,2＋i对应A，B，C三点，D为第四个顶点，则①当ABCD是平行四边形时，D点对应的复数是3＋5

39、i.②当ABDC是平行四边形时，D点对应的复数为1－3i.③当ADBC是平行四边形时，D点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．【跟踪训练2】　已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形AB

40、CD的面积．解　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为＝，所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)，设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为·＝

41、

42、

43、

44、cosB，所以cosB＝＝＝＝.所以sinB