高中数学 数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案新人教a版

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1、3．2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标　1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．知识点一　复数代数形式的加减法思考　类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.梳理　(1)运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算

2、律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二　复数加减法的几何意义思考1　复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案　如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，得＋＝(a＋c，b＋d)，所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．思考2　怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答案　z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行

3、四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.梳理复数加法的几何意义复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数1．两个虚数的和或差可能是实数．(　√　)2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　√　)3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　×　)类型一　复数的加法、减法运算例1　(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数

4、z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.(2)已知复数z满足

5、z

6、i＋z＝1＋3i，则z＝________.考点　复数的加减法运算法则题点　复数加减法的综合应用答案　(1)－1　(2)1＋i解析　(1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，由题意得a＋1＝0，则a＝－1.(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则

7、z

8、＝，∴

9、z

10、i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i＝1＋3i，∴解得∴z＝1＋i.反思与感悟　(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有

11、z

12、与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋y

13、i(x，y∈R)．跟踪训练1　(1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．(3)已知复数z满足

14、z

15、＋z＝1＋3i，则z＝________.考点　复数的加减法运算法则题点　复数加减法的运算法则答案　(1)6－2i　(2)－a＋(4b－3)i　(3)－4＋3i解析　(1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，

16、z

17、＝，∴

18、z

19、＋z＝(＋x)

20、＋yi＝1＋3i，∴解得∴z＝－4＋3i.类型二　复数加、减法的几何意义例2　(1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求：①表示的复数；②表示的复数；③表示的复数．考点　复数的加减法运算法则题点　复数加减法与向量的对应解　∵A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，由复数的几何意义，知与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.①因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.②因为＝－，所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.(2)已知z1，z

21、2∈C，

22、z1

23、＝

24、z2

25、＝1，

26、z1＋z2

27、＝，求

28、z1－z2

29、.考点　复数加减法的几何意义及应用题点　与加减法几何意义有关的模的问题解　根据复数加减法的几何意义，由

30、z1

31、＝

32、z2

33、知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形．如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2，∴

34、

35、＝

36、

37、，对应的复数为z1＋z2，∴

38、

39、＝.在△AOC中，

40、

41、＝

42、

43、＝1，

44、

45、＝，∴∠AOC＝30°.同理得∠BOC＝30°，∴△OAB为等边三角形，则

46、

47、＝1，对应的复数为z1－z2，∴

48、z1－z2

49、＝1.引申探究　若将本例(2)中的条件“

50、z1＋z2

51、＝”改为“

52、z1－z2

53、＝1”，求

54、z1

55、＋z2

56、.