专题26--椭圆中定值和最值问题.doc

《专题26--椭圆中定值和最值问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、专题26--椭圆中定值和最值问题一、椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：1．与椭圆有关的直线过定点(1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程；(2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程．2．与椭圆有关的圆过定点x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过直线A1x＋B1y＋C1＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆

2、的方程．3．与椭圆有关的参数的定值问题二、椭圆中的最值问题1．参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．2．长度和面积的最值由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数(如k或(x，y))的函数，运用函数或基本不等式求最值．要点热点探究►　探究点一　与椭圆有关的定值问题在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点的问题．例1已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作

3、两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．【解答】(1)当直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得：5x2＋16x＋12＝0，解得x1＝－2，x2＝－，所以M.(2)设直线AM的斜率为k，则AM：y＝k(x＋2)，则化简得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.因为此方程有一根为－2，所以xM＝，同理可得xN＝.由(1)知若存在定点，则此点必为P.因为kMP＝

4、＝＝，同理可计算得kPN＝.所以kMP＝kPN，M、P、N三点共线，所以直线MN过x轴上的一个定点P.例2椭圆的两焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点.(1)求椭圆方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．【解答】(1)由题意，即可得到椭圆方程为＋y2＝1.(2)设直线MN的方程为：x＝ky－，联立直线MN和椭圆的方程得(k2＋4)y2－ky－＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，又A(－2,0)，则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，

5、y2)＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝－＋·＋＝0，即可得∠MAN＝.►　探究点二　与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题，一般建立两类函数：一是关于k的函数；二是关于点(x，y)的函数．例3如图26－1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A，B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．(1)求证：A，C，T三点共线；(2)如果＝3，四边形APCB面积的最大值为，求此时椭圆的方程和点P的坐标．图26－1【解答】(1)证明：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，①AT：＋＝1，②

6、　BF：＋＝1，③解得AT与BF的交点，代入①得：＋＝＝1，满足①式，则AT与BF的交点在椭圆上，即为点C，则A，C，T三点共线．(2)过C作CE⊥x轴，垂足为E，则△OBF∽△ECF.∵＝3，∴CE＝b，EF＝c，则C，代入①得：＋＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.设P(x0，y0)，则x＋2y＝2c2，此时C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，直线AC的方程为：x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝＝，S△APC＝d·AC＝··c＝·c.所以只需求x0＋2y0的最大值即可．法一：∵(x0＋2y0)2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(

7、x＋2y)＝6c2，∴x0＋2y0≤c，当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝c.法二：令x0＋2y0＝t，代入x＋2y＝2c2得：(t－2y0)2＋2y－2c2＝0，即6y－4ty0＋t2－2c2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得－c≤t≤c，当t＝c时，代入原方程解得x0＝y0＝c.由法一、法二知四边形APCB的面积最大值为c2＋c2＝c2＝，∴c2＝1，a2＝2，b2＝1.此时椭圆方程为＋y2＝1，P点坐标为.【点评】本题所建立的函数与点P坐标(x0，y0)有关．在计算最值时，方法一用的是基本不等式；方法二用的是代