《两个向量的数量积》课件2.ppt

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1、两个向量的数量积一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ使推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量a叫做直线的方向向量.OABPa若P为A,B中点,则2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有注意：空间

2、四点P、M、A、B共面实数对平面向量数量积的相关知识复习：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量a与b的夹角。已知两个非零向量a和b，在平面上取一点O，作OA=a,OB=b,则平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积已知两个非零向量a,b，则

3、a

4、

5、b

6、cos叫做向量a,b的数量积，记作即并规定0新授一、几个概念1）两个向量的夹角的定义OAB夹角的顶点为两个向量的起点不同在任何一个平面内平移到一个平面内锐角或直角直角3）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。BAA1B1注意：　

7、是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量　　与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。4）射影二、.空间向量的数量积性质注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；（３）性质5是求两个向量夹角的依据；对于非零向量　　，有：三.空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律课堂练习三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmnll要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共

8、面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn要证l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝0三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥nmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线

9、，所以l⊥数量积的应用（一）求线线角变式设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则△BCD是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定C例3已知在平行六面体　　　　　　　中，,,求对角线　　的长。ADCB数量积的应用（二）求线段长度例4如图，已知线段　　在平面　内，线段，线段　　　　，线段　　　　，　　　　　，如果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。解：由　　　，可知.由　　　　知.课堂练习ABA1C1B1C1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为()A.B.C.D.B30°(－2，2)数量积的

10、应用（三）证明垂直∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，A1C⊥B1D1由三垂线定理知A1C⊥BC1CBA1B1C1ADD1结论:正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直小结：到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题：1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离或线段长度。3、求两直线所成角的余弦值等等。