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1、一、引例引例1曲边梯形的面积:如图,由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形.下面我们求曲边梯形的面积(1)分割在(a,b)内插入n–1个分点把区间[a,b]分成n个小区间记每一个小区间的长度为abx5.1定积分的概念与性质第5章定积分(2)近似表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间内任取一点,过点作x轴的垂线与曲线交于点,以为底,为高做矩形,以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则a(3)求和将所有矩形面积求和过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲边梯形分割
2、成n个小曲边梯形.(4)取极限记为所有小区间中长度的最大者,即,当时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即解(1)分割引例2变力做功在插入n个分点则即是曲边梯形面积的近似值.将闭区间[a,b]分成n个小区间:小区间的长度(2)近似在每一个小区间上任取一点,把做为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间上对质点所做的功的近似值为(3)求和把各小区间上力F所做的功的近似值加起来,即得到在区间上所做功的近似值,即(4)取极限把所有小区间的最大长度记为,即,则当时,和式的极限即为变力在区间上对质点所做的功,即
3、二、定积分的概念定义定积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积.质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s
4、)在[a,b]上的定积分，即可以证明:若函数f(x)在在区间[a,b]上连续,或只有有限个第一类间断点,则f(x)在在区间[a,b]上可积.关于定积分的概念，还应注意两点:(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有(2)在定积分的定义中，总假设，为了今后的使用方便，对于时作如下规定：如果在[a,b]上，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
5、相反数.三、定积分的几何意义：如果在[a,b]上，则在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.axbaxb如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.xy=f(x)aboyA4A3A2A1性质1两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即四、定积分的基本性质设下面函数f(x)，fi(x)，g(x)在[a,b]上可积.推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代
6、数和，即如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b],则性质3性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.当c在区间[a,b]之外时，上面表达式也成立.性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外.利用定积分的几何意义，可分别求出例1解性质4性质5推论1推论2性质6(估值定理)证明例2解性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立证明因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续
7、函数的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有即数值介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点,使得即性质7的几何意义：在上至少存在一点,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为的矩形的面积.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们称为函数f(x)在[a,b]上的平均值.如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t),t为时间，则表示该地、该日的平均气温.如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x)
8、,(a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流在该截面处的平均水深为.一、变上限积分设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x()，积分存在，且对于给定的x()就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分是上限x的函数.注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间5.2微积分基本公式变化的，因此常记为定理1证明由积分中值定理有结论
