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1、知识要点讲解一、定积分的概念与基本性质、基本定理二、定积分的计算三、积分计算技巧四、反常积分五、定积分的几何应用六、定积分的简单经济应用一、定积分的概念与基本性质、基本定理1.定积分的定义定义被积函数被积表达式积分变量记为积分和积分下限积分上限几点说明:(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关,即(2)定义中区间的分法和的取法是任意的.(3)当函数在区间上的定积分存在时,称在区间上可积.（4）时,当时,当2.定积分的几何意义、函数的可积性曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值abxyooyabx几
2、何意义xyo定积分存在定理定理1定理2若函数在区间上连续,则在区间上可积.若函数在区间上有界,且只有有限个间断点,在区间则上可积.3.定积分的基本性质性质1性质2为常数).性质3设则补充:不论的相对位置如何,上式总成立.性质4性质5则如果在区间上推论1上如果在区间则推论2性质6设及分别是函数在区间上的最大值及最小值,则性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一个点使积分中值公式4.基本定理定义设函数在区间上连续,为上的变量,则变上限定积分推论（1）（2）定理如果在连续,则积分上限的函数
3、就是在上的一个原函数.定理若是连续函数在区间上的一个原函数,则牛顿－莱布尼茨公式5.奇偶函数与周期函数的积分性质定理则当在上连续,(1)当为偶函数,有(2)当为奇函数,有二、定积分的计算1.定积分的分项积分法与分段积分法2.定积分的换元积分法定理假设在上连续,函数满足条件:(1)(2)在上具有连续导数,且其值域不超出则有定理若、在区间上具有连续导数,则有定积分的分部积分公式三、积分计算技巧利用定积分的几何意义直接得出某些定积分的值。利用对称区间上奇偶函数的积分性质。利用周期函数的积分性质。利用几个常用积分公式。利用
4、被积函数的分解与结合。四、反常积分定义1设函数在区间上连续,如果极限存在,则称此极限为在上的广义积分记为此时,就说广义积分收敛,若极限不存在,则称广义积分发散.1.无穷区间上的反常积分类似地,可定义广义积分定义2函数在区间上广义积分定义为其中为任意实数,当上式右端两个积分都收敛时,称广义积分是收敛的,否则,散的.称其是发定义1设函数在区间上连续,右邻域内无界,取如果极限存在,则称此极限为函数义积分,记作而在点的在区间上的广当极限存在时,称广义积分收敛,否则称为发散.类似地,函数在区间上的广义积分,记作定义2设函数在
5、区间上除点2.无界函数的反常积分定义2设函数在区间上除点外连续,而在点的邻域内无界,区间上的广义积分定义为则函数在当上式右端两个积分都收敛时,称广义积分是收敛的,否则,无界函数的广义积分又称为瑕积分.定义中函数的无界间断点称为瑕点.称广义积分是发散的.3.几个常见的反常积分当时,收敛,其值为当时,发散.（1）收敛,当时,其值为发散.当时,（2）4.反常积分的计算五、几何应用（一）平面图形的面积xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积穿针法或微元素法被积函数上-下、右-左1.直角坐标系情形面积元素曲边扇形的面积2.极坐标系
6、情形如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积3.边界曲线方程由参数方程给出的平面图形的面积（二）立体的体积1.平行截面面积为已知的立体体积如果一个立体不是旋转体，但知道该立体上垂直于一条定直线的各个截面的面积，那么该立体的体积可以用定积分计算。取上述定直线为x轴，并设该立体位于过点x=a，x=b且垂直于x轴的两平行平面之间，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，其中A(x)为x的连续函数，则可用微元法得立体的体积为旋转体的体积为2.旋转体的体积（三）函数在区间上的平均值六、定积分的简单经济应用1.由边际函数
7、求原经济函数对一已知经济、总成本函数、总收入函数等),函数的导函数。作为导数(微分)的逆运算,若对已知的边际函数求不定积分,则可求得原经济函数(如需求函数它的边际函数就是它其中,积分常数可由经济函数的具体条件确定.和利润需求函数需求量Q是价格P的函数一般地,价格时,需求量最大,为即若已知边际需求为则总需求函数为设最大需求量其中,积分常数可由条件确定.或用变上限的定积分表示为总成本函数设产量为时的边际成本为固定成本为则产量为时的总成本函数为其中,积分常数由初始条件确定.或者变上限的定积分公式直接求得总成本函数其中,为
8、固定成本,为变动成本.总收入函数设产销量为时的边际收入为则产销量为时的总收入函数其中,积分常数由确定定产销量为0时总收入为0).或由变上限的定积分公式直接求得总收入函数(一般地假可由不定积分公式得
