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1、经典小初高讲义3 圆柱与圆锥一、圆柱的认识1.生活中有许多物体是圆柱形的,如茶叶桶、蜡烛、罐头盒等。2.圆柱的特征:圆柱是由3个面围成的。它的上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高,圆柱有无数条高。3.圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆。圆柱的侧面是一个曲面,沿高展开后是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或边长)等于圆柱的底面周长,宽(或边长)等于圆柱的高。4.把一张长方形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,长方形硬纸形成的图形就是圆柱。二、圆柱的表面积
2、1.圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示:S侧=Ch。如果已知底面直径,底面周长的计算公式是C=πd,圆柱的侧面积公式就是S侧=πdh;如果已知底面半径,底面周长的计算公式就是C=2πr,圆柱的侧面积公式就是S侧=2πrh。2.圆柱的表面积=侧面积+底面积×2,用字母表示为S表=Ch+2πr2。三、圆柱的体积1.圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。2.圆柱体积的推导过程:把一个圆柱的底面沿半径分成若干个相等的扇形,按照等分线沿着圆柱的高把它们切开后,可以拼成一个近似的长方体。分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于
3、长方体。拼成的长方体与圆柱形状不同,体积相等。提示:如果沿一条斜线将圆柱的侧面展开,它的侧面会是一个平行四边形,圆柱的底面周长是平行四边形的底,圆柱的高是平行四边形的高。注意:圆柱的侧面展开不可能得到梯形。提示:在实际中,不是所有的圆柱形物体都有两个底面,要具体问题具体分析。例如:求一段排气筒的表面积就是求圆柱的侧面积,求一个水桶的表面积就是求圆柱的侧面积和一个底面积的和。提示:把圆柱转化成长方体来求体积,运用的是转化的思想方法。要点:圆柱的高不变,底面半径、直径或周长扩大到小初高优秀教案经典小初高讲义长方体的底面积等于
4、圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。长方体的体积=底面积×高,推导出:圆柱的体积=底面积×高。3.圆柱的体积公式是V圆柱=Sh,如果知道圆柱的底面半径r和高h,圆柱的体积公式就是V圆柱=πr2h。4.在求不规则的物体的体积或容积时,可以利用转化的思想,将其转化成规则的图形进行计算。四、圆锥的认识1.生活中有很多物体的形状是圆锥形的,像尖形的帽子、粮囤的顶部等,还有漏斗、跳棋等物体的形状也接近圆锥形。2.圆锥的特征:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体图形。圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心
5、的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。3.圆锥高的测量方法:①把圆锥的底面水平放好;②把一块平板水平地放在圆锥的顶点上面;③平板和底面之间的距离就是圆锥的高。4.把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,直角三角形转动形成的图形是圆锥,贴在木棒上的直角边是圆锥的高,另一条直角边是圆锥的底面半径。五、圆锥的体积1.圆锥的体积推导过程:准备等底等高的圆柱和圆锥形容器。把空的圆锥形容器里装满水或细沙,然后倒入空圆柱形容器里,倒3次正好将空圆柱装满。如果把空圆柱形容器装满水或细沙,倒入空圆锥形容器中,每次都倒满,正好也倒了3次
6、。通过实验可知,等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,也可以说圆锥的体积是圆柱体积的13。2.圆锥的体积公式:V圆锥=13Sh。已知圆锥的底面半径和高,可以直接利用公式V圆锥=13πr2h来计算体积。原来的n倍,则体积扩大到原来的n2倍;若底面半径、直径、或周长缩小到原来的1n,则体积缩小到原来的1n2。 注意:从圆锥的顶点到圆锥底面圆周上的一点连一条直线,沿这条直线把圆锥的侧面展开,会得到一个扇形。提示:如果把一个圆锥切成大小、形状完全相同的两块,切面是两个以底面直径为底边,以圆锥的高为高的等腰三角形
7、。圆柱与圆锥的关系:(1)等体积等高时,圆柱底面积是圆锥的13,圆锥底面积是圆柱的3倍;(2)等体积等底时,圆锥高是圆柱的3倍,圆柱高是圆锥的13。小初高优秀教案
