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1、第三章函数极限函数极限概念函数极限的性质及存在条件两个重要极限无穷小量与无穷大量教学要求1理解函数极限的“ε-δ”，“ε-M”定义及单侧极限概念；2掌握函数极限的基本性质及两个重要极限；3理解广义极限、无穷大量及无穷小量等概念。第三章函数极限第三章函数极限一函数极限概念51015202530354045505500.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2一、x趋于¥时函数的极限设函数f定义在[)+¥,a上，类似于数列情形，研究当自变量x趋于¥+时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数A.例如
2、,对于函数()xxf1=我们画出它的图像当x无限增大时，函数值无限地接近于0；051015202530354045505500.20.40.60.811.21.41.6而对于函数()xxgarctan=，则当x趋于¥+时函数值无限地接近于2p我们称这两个函数当+¥®x时有极限。一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的
3、极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数f(x)“无限接近”某数A?问题:函数)(xfy=在+¥®x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.一般地,当x趋于¥+时函数极限的精确定义如下：定义1设f定义在[)+¥,a上的函数，A为定数.若对任给的0>e,存在数()aM³,使得当Mx>时有()e<-Axf,则称函数f当x趋于¥+时以A为极限,记作()Axfx=+¥®lim或()()+¥®®xAxf。在定义1中正数M的作用与数列极限定义中N的相类似,表明x充分大的程度;但这里所考虑的是比M大的所有实数x,而
4、不仅仅是正整数n.因此,当x趋于¥+时函数f以A为极限意味着：A的任意小邻域内必含有f在¥+的某邻域内的全部函数值。正M定义1的几何意义如下图所示，对任给的0>e,在坐标平面上平行于x轴的两条直线e+=Ay与e-=Ay，围成以直线Ay=为中心线、宽为e2的带形区域;定义中的“当Mx>时有()e<-Axf”表示:在直线Mx=的右方,曲线()xfy=全部落在这个带形区域之内.A-εA+εAOxf(x)Mx=一般要往右平移;但无论带形区域如何窄,总存在这样的正数M,使得曲线()xfy=在直线Mx=的右边部分全部落在这更窄的带形区域
5、内。MA-εA+εAOxf(x)如果正数e给的小一点,即当带形区域更窄一点,那么直线现设f为定义在()¥-U或()¥U上的函数,当-¥®x或¥®x时,若函数值()xf能无限地接近某定数A，则称f当-¥®x或¥®x时以A为极限,分别记作()Axfx=-¥®lim或()()-¥®®xAxf()Axfx=¥®lim或()()¥®®xAxf这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,只须把定义1中的“Mx>”分别改为“Mx-<”或“Mx>”即可。:情形+¥®x:情形¥®x.)(,,0,0ee<->>$>"AxfMxM恒有时使当:情形-¥®
6、x.)(,,0,0ee<--<>$>"AxfMxM恒有时使当.)(,,0,0e<->>$>e"AxfMxM恒有时使当定义""M-e几何解释:xO证证任给0>e,由于而此不等式的左半部分对任何x都成立,所以只要考察其右半部分x的变化范围。为此,先限制则有例证明证故不妨设
7、x
8、＞1，而当
9、x
10、＞1时二、自变量趋于有限值时函数的极限先看一个例子这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)的极限。1xyo4注①定义习惯上称为
11、极限的ε—δ定义其三个要素：10。正数ε，20。正数δ，30。不等式②定义中所以x→x0时，f(x)有无极限与f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在x0附近的变化趋势,即x→x0时f(x)变化有无终极目标，而不是f(x)在x0这一孤立点的情况。约定x→x0但x≠x0e>0d>0当0<
12、x-x0
13、14、f(x)-A
15、16、f(x)－A
17、＜ε来选定，一般地，ε越小，δ越小2.几何解释
18、:③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε，对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯一的。δ由不等式
19、f(x)－A
20、＜ε来选定，一般地，ε越小，δ越小2.几何解释:③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε，对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯一的。δ由不等式
21、f(x)－
