导数经典习题分类精选.doc

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1、导数定义例1．在处可导，则思路：在处可导，必连续∴∴例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）；（2）分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：（1）（2）例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若为偶函数令49∴可导的偶函数的导函数是奇函数另证：已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点最近的点.(1

2、)若点的坐标为,求证：;(2)若函数的图象不通过坐标原点,证明直线与函数的图象上点处切线垂直.证：(1)设Q(x,f(x))为y=f(x)上的动点，则

3、OQ

4、2=x2+f2(x)，设F(x)=x2+f2(x),则F'(x)=2x+2f(x)f'(x)已知P为y=f(x)图形上距离原点O最近的一点，∴

5、OP

6、2为F(x)的最小值，即F(x)在x=a处有最小值,亦即F(x)在x=a处有极小值∴F'(a)=0，即2a+2f(a)f'(a)=0(2)线段OP的斜率为，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f'(a)由(1)知f(a)f'

7、(a)=–a，∴图象不过原点，∴a¹0，∴f'(a)=–1∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.利用导数证明不等式例6．求证下列不等式（1）（相减）（2）（相除）（3）49证：（1）∴为上∴恒成立∴∴在上∴恒成立（2）原式令∴∴∴（3）令∴∴（理做）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.（Ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：2049极小值故知在内

8、是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．(利用单调性证明不等式）故当时，恒有．（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设00时,，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最

9、大值，最大值是0(II)证法一：.由(I)的结论知，由题设0a时，因此F(x)在(a,+∞)上为增函数49从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即设,则当x>0时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：解:（I）令

10、，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则⑴当时，在单调递增；49⑵当时，，在单调递减。故．已知函数，，（1）证明：当时，恒有（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;解：（1）设，则=，当时，，所以函数在（0，单调递增，又在处连续，所以，即，所以。（2）设，则在（0，恒大于0，，，的根为0和即在区间（0，上，的根为0和若，则在单调递减，且，与在（0，恒大于0矛盾；若，在（0，单调递增，49且，满足题设条件，所

11、以，所以。（1）已知：，求证；（2）已知：，求证：。（1）令，由x>0，∴t>1，原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt，∵当时，有，∴函数f(t)在递增∴f(t)>f(1)即t-1g(1)=0∴综上得（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得即得利用导数求和例7．利用导数求和：（1）；（2）。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x=1时，49

12、；当x≠1时，，两边都是关于x的函数，求导得即（2）∵，两边都是关于x的函数，求导得。令x=1得，即。单调区间讨论例．设，求函数的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：.当时.