复旦大学数学分析考研试题及答案.pdf

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1、复旦大学2001年招收硕士学位研究生考试试题数学分析x−1xe−21求极限lim（12分）2x→1ln(2x−1)f(x)2.已知f)0(<,0f(''x)>(0−∞

2、12分）yx∂x∂y422z5.用Lagrange乘数法，解f(x,y,z)=x+y+在xyz=1条件下的极植问题。（13分）222236.求曲面(x+y+z)=3xyz所围区域的体积。（13分）1ln21xπ7.证明：∫dx=（推导过程要说明理由）（13分）01−x6+∞n+1(−)18.将y=sinx,x∈,0(π)展开成余弦级数，并求级数∑的和（13分）2n=14n−1复旦大学2001年招收硕士学位研究生考试试题数学分析习题答案xx−−11x−1x−1x−−ex22[]e'11−e22x−11−xe202

3、x21.解:lim()===limlimlim220ln(2x−1)xxx→→→111ln(2xx−−1)[ln(21)]'4x→18xln(2x−1)21x−x−1xx−−111[1−xe2]'1−−1ee22x12x2==limlim=−■8[xx→→11ln(21x−)]'821621x−f(x)xf('x)−f(x)2.证:设F(x)=,则F('x)=,设G(x)=xf('x)−f(x),而f)0(<,0从而有2xxG)0(=−f)0(>,0G('x)=xf("x),而f(''x)>(0−∞

4、,故当x∈(−∞)0,时,f(x)G('x)<0,G(x)>G)0(,此时F('x)>0,即有分别在(−∞)0,上严格单调增加;xf(x)当x∈,0(+∞)时,G('x)>0,G(x)>G)0(,此时F('x)>0,即有分别在(−∞)0,上严格单调增加;xf(x)综上所述,分别在(−∞)0,与,0(+∞)都是严格单调增加函数.■x+∞3.解:∫f(x)g(x)dx不一定收敛.a+∞取g(x)=1+2a，f(x)=1，取a>0，则有f(x)dx收敛，=，而x−2ax2∫alimg(x)1x→+∞+∞+∞+∞f(x

5、)g(x)dx=11(+2a)dx=1dx.显然x=a为该积分的一奇点,并且在这一点∫a∫x2x−2a∫2−2aaxax+∞处该积分不收敛,所以∫f(x)g(x)dx不一定收敛.■azz4.解:设u=x+,v=y+,则有该方程左右两边分别对x,y求导有:yxz−x∂zz−y∂z∂u∂v∂z∂xF∂u+F∂v=F∂y+F+∂z=Fu'∂x+F'v∂x=Fu1('+y∂x)+F'vx2=0u'∂y'v∂yu'y2v1('x∂y)022xyF''++zyFxyF''zxF∂∂zuvzuv则有:==,∂∂xy22xyF

6、''−−xFxyF''yFvuuv2222∂z∂zxyF'+zyF'xyF'+zxF'xyF'+zyF'−xyF'−zxF'x+y=uv+uv=uvuv.■∂x∂yyF'−xF'xF'−yF'yF'−xF'vuuvvu422z5.解:作Lagrange函数有:L(x,y,z,λ)=x+y++λ(xyz−)12∗.解答人:王伟嘉兴南洋职业技术学院基础部助教令L'=L'=L'=L'=,0得xyzλ⎧2x+λyz=0⎪⎪2y+λxz=0⎨⎪2z+λxy=0⎪⎩xyz−1=0⎧x=1⎧x=1⎧x=−1⎧x=−1⎪⎪⎪⎪

7、⎪y=1⎪y=−1⎪y=1⎪y=−1解得⎨或⎨或⎨或⎨⎪z=1⎪z=−1⎪z=1⎪z=−`1⎪⎩λ=−2⎪⎩λ=−2⎪⎩λ=−2⎪⎩λ=−2422z5所以f(x,y,z)=x+y+在xyz=1条件下的极植为.■226.解:由曲面方程知所围立体只能位于第一,三,五,七卦限,且体积为第一卦限立体V得4倍,1即V=4V=4dxdydz1∫∫∫V1⎧x=rsinϕcosθ⎪1y=rsinϕsinθ,则0≤θ≤π0,≤ϕ≤π0,≤r≤33(sin2ϕcosϕcosθsinθ)3令⎨22,⎪⎩z=rcosϕ1ππ33(si

8、n2ϕcosϕcosθsinθ)3V=42dθ2dϕr2sinϕdr∫0∫0∫0ππ=42dθ23sin2ϕcosϕsinθcosθdϕ=1■3∫0∫0217.解:由于ln=−lnx=−ln[1−1(−x)],xln[1−1(−x)]=−1(−x)−11(−x)2−11(−x)3−?−11(−x)n+1−?23n+11ln则有:x=1+11(−x)+11(−x)2+?+11(−x)n+