数学分析_各校考研试题及答案.doc

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1、2003南开大学年数学分析..一、设其中有二阶连续偏导数,求解:令u=x+y,v=x-y,z=x则;二、设数列非负单增且,证明解:因为an非负单增,故有由;据两边夹定理有极限成立。三、设试确定的取值范围,使f(x)分别满足:(1)极限存在(2)f(x)在x=0连续(3)f(x)在x=0可导解:(1)因为==极限存在则2+知(2)因为=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则(3)所以要使f(x)在0可导则四、设f(x)在R连续,证明积分与积分路径无关解;令U=则=又f(x)在R上连续故存在F(u)使dF(u)=f(u)du=所以积分与路径无关。(此题应感谢小毒物提供思路)五、

2、设f(x)在[a,b]上可导,且,证明证:因f(x)在[a,b]可导,则由拉格朗日中值定理,存在即有六、设单减而且收敛于0。发散a)证明b)证明其中;证:(1)因为而单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知(2)因为正项级数发散则又由上题知故有七、设证明(1)在一致收敛(2)在连续证:(1)因收敛(可由狄利克莱判别法判出)故在t>=0上一致收敛;又在x>=1,t>=0 单调且一致有界由阿贝尔判别法知一致收敛(2)由上题知,F(t)在一致收敛,且由在(x,t)上连续知F(t)在连续所以在连续,由的任意性得证八、令是[a,b]上定义的函数列,满足(1)对任意是一个有界数列(2)对任意

3、,存在一个求证存在一个子序列在[a,b]上一致收敛证:对任意,是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列,设为,又令U=则U为[a,b]的一个开覆盖集,由有限覆盖定理,存在有限个开区间覆盖[a,b],不妨设为于是对>0,有令则由条件(2)知对上述于是++由柯西准则得证。2004年南开大学数学分析试题答案1.2.,=3.即证明,即证设,,,,证完。4.===5.设P=,Q=,,积分与路径无关,则6.,又当时,收敛,当时,级数发散,原题得证7.由拉格朗日定理,,其中,原题得证8.(1)应用数学归纳法,当时命题成立,若当时命题也成立,则当时,,由归纳假设连续。(2)(3)由单调递

4、减趋于,与都连续,由地尼定理,该收敛为一致收敛。9.(1)证明:取,代入式中得,即,所以函数单调递增有下界,从而存在右极限,则;,由题设可得,即从而,所以导函数递增。(2)参考实变函数的有关教材。2005年南开大学数学分析试题答案2.,其中由求出3.4.在上单调一致趋于0,则在上一致收敛,又在上连续,则在上连续。5.由泰勒公式,则,后者收敛,则原级数收敛。6.由拉格朗日中值定理,后者收敛,由魏尔特拉斯定理,原级数一致收敛。由一致收敛,则可以逐项求导,也一致收敛且连续,故连续可导7.反证:设存在有,不妨设,由连续函数的局部保号性,知道存在一个邻域当时,则存在一个圆周与已知矛盾

5、。8.当时,时,,综上,若对任意的有,则在时,不存在,矛盾。设当时,当时,两边对积分即可6.,,由在上有定义,则在上有界,则可以得到在上连续。,则,则则单调递增有下界,存在右极限,存在,同理存在,由极限的保不等式性可得2003年中国科学院数学研究院数学分析试题答案1.(1)当时,当时,当时,当时,(2)当时,=(3)当时,当时,当时,当时,2.当时,,从而连续;当时,,存在;当时,,3.即证:,,,当时,设,,,所以,当时,设,,,所以,4.5.假设存在常数M,,积分矛盾6.作代换===7.椭球面的切向量为,切点为和8.当时,相加:令,所以9由含参量积分的性质,科院2006

6、年数学分析试题参考解答1求a,b使下列函数在x=0处可导:解:由于函数在x=0处可导,从而连续,由得到b=1;又由得到a=0.即得。2证明:用反证法。由知,均为正项级数。假设级数收敛,则,于是有,从而由正项级数的比较判别法知级数收敛,矛盾,从而得证。3解:从而即得解。(利用余元公式、换元、函数更为简单)4证明:知,从而令有从而得证。5证明:6证明:我们先来证明一个不等式,一般的称为Cauchy---Schwarz不等式,即定理17证明:8设曲线的周长和所围成的面积分别为L和S,还令,则.证明:由对称性知9解:为证明=I,我们先来证明一个定理:定理2设在

7、x

8、

9、收敛,则回到题目,看数项级数收敛,设=,

10、x

11、<1,由定理2即知==I.10解:这是星形线,充分考虑到对称性(x=0,y=0,x=y,x=-y),有北京大学20051设,试求和.解:当然此上极限可以令.此下极限当然可以令1.(1)设在开区间可微,且在有界。证明在一致连续.证明:由存在.这显然就是(2)设在开区间可微且一致连续,试问在是否一定有界。(若肯定回答,请证明;若否定回答,举例说明)证明:否定回答.闭区间上连续函数一致连续.所以显然此而3.设.(1)求的麦克劳林展开式。(2)求。解:这道题目要是直接展开是很麻

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