等比数列的前n项和公式的几种推导方法.docx

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1、赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法山东张吉林（山东省莱州五中邮编261423）等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：当q1时，Sna1(1qn)①或Sna1anq②1q1q当q=1时，Snna1本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。一般地，设等比数列a1,a2,a3,an它的前n项和是Sna1a2a3an公式的推导方法一：当q1时，由Sna1a2a3anana1qn1S

2、na1a1qa1q2a1qn2a1qn1得a1qa1q2a1q3a1qn1a1qnqSn(1q)Sna1a1qn∴当q1时，Sna1(1qn)①或Sna1anq②1q1q当q=1时，Snna1当已知a1,q,n时常用公式①；当已知a1,q,an时，常用公式②.拓展延伸：若an是等差数列，bn是等比数列，对形如anbn的数列，可以用错位相减法求和。例题数列an的前n项和Snn(n1)2(n2)2n2n1，则2222Sn的表达式为（）．A．Sn2n12nn2B．Sn2n1n2C．Sn2nn2D．Sn2n1n2解析：由Snn(n1)2(n2)2222n22n1，①可得2Sn2n(n1)

3、22(n2)2322n12n，②②－①，得Sn222n12n2(12n)nn1n2，故选（D）．2n122点评：这个脱胎于课本中等比数列前n项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。公式的推导方法二：当q1时，由等比数列的定义得，a2a3anqa1a2an1根据等比的性质，有a2a3anSna1qa1a2an1Snan即Sna1q(1q)Sna1anqSnan∴当q1时，Sna1(1qn)或Sna1anq1q1q当q=1时，Snna1该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，给我们以耳目一新的另类感觉。导后反思：定义是基础

4、，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：已知数列an是等比数列（q1），Sn是其前n项的和，则Sk，S2kSk，S3kS2k，,，仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程：证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，Ska11qk,S2ka11q2ka11q3k1q1,S3k1qqS2kSka11q2ka11qka1qk1qk1q1q1qS3kS2ka11q3ka11q2ka1q2k1qk1q1q1qS2kSk2a12q2k1qk2Sk(S3ka11qka1q2k1qk(1q)2S2k)q1q1a1

5、2q2k1qk2(1q)2∴S2kSk2=Sk(S3kS2k)∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.［这一过程也可如下证明］：证明二：S2k－S=(a1a2a3a2k)－(aaaa)k123k=ak1ak2ak3a2k=qk(a1a2a3ak)=qkSk0同理，S3k－S2k=a2k1a2k2a2k3a3k=q2kSk0∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。对比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。公式的推导方法三：Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)＝aqS＝a1q(Snan)1n1(1q)Sna1anq

6、∴当q1时，Sna1(1qn)或Sna1anq1q1q当q=1时，Snna1“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章的公式考察中常利用方程思想构造方程（或方程组），在已知量和未知量之间搭起桥梁，来求解基本量，使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书本。.以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同，侧重点各异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了Sn与Sn1间的递推关系式，充分利用了Sn与S

7、n1和首项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同学们在学习中认真领悟，仔细体味，以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。