2019高考数学考点突破——选考系列：参数方程学案.doc

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1、参数方程【考点梳理】1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必

2、须使x，y的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a>b>0)(φ为参数)【考点突破】考点一、参数方程与普通方程的互化【例1】已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值.[解析](1)由C1消去参数t，得曲线C1的

3、普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1.同理曲线C2的普通方程为＋＝1.C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t＝时，P(－4，4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，故M，又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到直线C3的距离d＝

4、4cosθ－3sinθ－13

5、＝

6、3sinθ－4cosθ＋13

7、＝

8、5(sinθ－φ)＋13

9、，所以d的最小值为.【类题通法】1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变

10、换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．【对点训练】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.[解析](1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.曲线C的标准方程是＋y2＝1，联立方程解得或则C与l交点坐标是(3，0)和.(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.设曲线C上点P(

11、3cosθ，sinθ).则P到l距离d＝＝，其中tanφ＝.又点C到直线l距离的最大值为.∴

12、5sin(θ＋φ)－4－a

13、的最大值为17.若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.考点二、参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C的两个

14、交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求

15、PM

16、·

17、PN

18、的值.[解析](1)直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数t，得x＋y－1＝0.曲线C的参数方程为(θ为参数)，利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0.令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0).把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝1.由直线参数方程的几何意义，

19、PM

20、·

21、PN

22、＝

23、t1·t

24、2

25、＝1.【类题通法】过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即

26、t

27、表示P0到P的距离，t有正负之分.对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.【对点训练】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.l与C交于A，B两点.(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设点P(0，－2)，求

28、PA

29、＋

30、PB

31、

32、的值.[解析](1)由曲线C：(α为参数)消去α，得普通方程＋y2＝1.因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcosθ－ρsinθ＝2，所以直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(2)点P(0，－2)在l上，则l的参数方程为(t为参数)，代入＋y2＝1整理得3t2－10t＋15＝0，由题意可得

33、PA

34、＋

35、PB

36、＝

37、t1

38、＋

39、t2

40、＝

41、t1＋t2

42、＝.考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】