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《高考数学复习点拨用基本不等式证题的技巧与策略.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、用基本不等式证题的技巧与策略在使用基本不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用基本不等式把问题•现举例说明如下.一、凑项在凑“和”或“积”为定值时，还需要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项.例1设a、b、c均为正数，且a+b+c=1,求证：+1+』4b+1+J4c+1WVH•分断考虑等号成立的条件时，必须注意3、b、C在问题中的对称地位，即只有d…C冷时,才有可能达到最值，而此时4a+1二4b+14c+14-I•J(4a+D冷4/7+1+--~~-，J4c+1W4c+1+—32••+1+J4b+1+J4c+1Wb+c)+3+
2、7]=V21.7当且仅当4a+1二4b+1二4c+1=—,即a=3b=c=*时,上式号成立.二、配项在使用基本不等式时，若能巧妙地添式配项，就可以把问题转化.例2已知a〕，a2a2求证:12Q]_l_a24-+a2a2+a39J均为正数，故亠-aA+a27Clr+dy75+%+5an+al4又因％+"2+°2+°344+・•・+an+a.1z、1所以，把以上各同向不等式相加，得:5+a.2+…++—a9+…+a二1•a}+a2a2+如心+e2~“721故5+°2丄...+”2.%+a2a2+色5+⑷2三、构造根据问题的整体结构，用基本不等式构造对偶式，然后经过某些运算，促使
3、问题的转化与解决.A例3己知a2,…，j均为实数，且a,+a0+…+a=A（A>0）,軒+af+…+a^=一〜〜n-（neN,n22）,求证：（k=1,2,…，n）n证明：构造基本不等式如下：匕.a°w丄［（也）2+a；］,匕・丄［（也）2+嶄］,……,匕.aWn-「2n-l「n-l32/?-13n-l1将上述（n—1）个同向不等式相加得：忖•••+a”）弓［脚（Am艮卩w1[(力_如)，+£_an-l2n-ln-l2Aj]z=>naj—2a[AW0,=>OW&]W—n74同理可求得0WJW——・（k二1,2,…，n）n四、平方通过平方运算，一可以把和（积）凑成定值，二可
4、以把和（积）问题转化为积（和）问题.例4若a、b、ceRa+b+c二3,求证：J2°+1+』2b+1+J2c+1W3侖・证明：•・•(J2q+1+J2b+1+J2c+1)2二2a+1+2b+1+2c+1+2j(2a+l)(2方+1)+2j(2b+1)(2c+1)+2J(2c+1)(2g+1)W2(a+b+c)+3+(2q+1)+(2b+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2c+1)+(2a+1)二6(a+b+c)+9二27.・：』2a+1+』2b+1+J2c+1W3爲・五、引参通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁已矢口a>
5、b、ceR'a+b+c=1,,求证：J13a+1+J13b+1+J13c+1证明：引入待定正参数t,•・•IJ13a+1二J/2(i3q+i)w*(t?+13a+1)①，同理tJ13b+1二/2(]3b+i)W*(t?+13b+1)②，tJ13c+1二Jf2(i3c+i)w丄(t?+13c+1)③。2①+②+③得：i3l(J13a+l+J13/7+1+TBT+I)(3严+13a+13b+13c+3)=-t2+8.•・・t>0,・•・J13a+1+713fc+*+7'3c4Ut+；・④由于t>0,则=3a/3.2tV2t将t鲁代入④得:当且仅当t二Jl3a+1二Jl3b+1二
6、Jl3c+1,即t二出3时，④式取等号,J13d+1+J13b+1+J13c+1W4巧.六、换元通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使证题思路自然、简捷.例6已知a>b、c为ZABC三边的长，求证：abc^(a+b—c)(b+c—a)(c+a—b).证明：设m=b+c—a,n二c+a—b,p=a+b—c,则由三角形两边之和大于第三边，得m>0,n>0,p>0,且a二"+卩,2于是abc二凹•住£•一2.m+pn+mb=,c=.22"；“2-yfnp•yjmp•Qmn二nmp(a+b—c)(b+c—a)(c+a—b)・七、配对根据已知不等式的某一边结构，给其配上一个
7、与之对称的代数式，然后将两个代数式联立再使用基本不等式，完成不等式的证明.例7设a〕,a2,…，a“和虬，b?,…，b”均为正数，且at+a2+…+an=b2+…+b“2221求证:―———+———+・••+———(3]+a2+•・•+a”).%+/?]a2+b2an+bn2〜n证明：设M二d]+/?ia；给M配对：Na2+b2+•••+b；an+bn2则m—n二鱼a；AM=N2I9a”-b；J+bn二(a,+a2++(a2—b2)+…+(azz—bn)”)_(S+b2+…+b”)二0・当注意到界+宀拉b)2和8]
