用基本不等式证题的技巧与策略

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1、用基本不等式证题的技巧与策略在使用基本不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用基本不等式把问题．现举例说明如下．一、凑项在凑“和”或“积”为定值时，还需要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项．例1设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，求证：++≤．分析：考虑等号成立的条件时，必须注意a、b、c在问题中的对称地位，即只有a=b=c=时，才有可能达到最值，而此时4a+1=4b+1=4c+1=．证明：∵=·≤·，同理≤·，≤·．∴++≤·[4(a+b+c)+3+7]=．当且

2、仅当4a+1=4b+1=4c+1=，即a=b=c=时，上式“=”号成立．二、配项在使用基本不等式时，若能巧妙地添式配项，就可以把问题转化．例2已知a，a，…，a均为正数，且a+a+…+a=1，求证：++…+≥．证明：因a，a，…，a均为正数，故+≥a，+≥a，……，+≥a．又因++…+=(a+a+…+a)=，所以，把以上各同向不等式相加，得：++…++≥a+a+…+a=1．故++…+≥．三、构造根据问题的整体结构，用基本不等式构造对偶式，然后经过某些运算，促使问题的转化与解决．例3已知a，a，…，a均为实数，且a+a

3、+…+a=A(A＞0)，a+a+…+a=(nN，n≥2)，求证：0≤a≤．(k=1，2，…，n)证明：构造基本不等式如下：·a≤[()+a]，·a≤[()+a]，……，·a≤[()+a]．将上述(n－1)个同向不等式相加得：(a+a+…+a)≤[(A－a)+a+a+…+a]，即≤[+－a]na－2aA≤0，0≤a≤．同理可求得0≤a≤．(k=1，2，…，n)四、平方通过平方运算，一可以把和(积)凑成定值，二可以把和(积)问题转化为积(和)问题．例4若a、b、cR+，a+b+c=3，求证：++≤3．证明：∵(++)=2

4、a+1+2b+1+2c+1+2+2+2≤2(a+b+c)+3+(2a+1)+(2b+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2c+1)+(2a+1)=6(a+b+c)+9=27．∴++≤3．五、引参通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁作用．例5已知a、b、cR+，a+b+c=1,，求证：++≤4．证明：引入待定正参数t，∵t=≤(t+13a+1)①，同理t=≤(t+13b+1)②，t=≤(t+13c+1)③。①+②+③得：t(++)≤(3t+13a+13b+13c+3)=

5、t+8．∵t＞0，∴++≤t+．④由于t＞0，则t+≥2=3．当且仅当t===，即t=时，④式取等号，将t=代入④得：++≤4．六、换元通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使证题思路自然、简捷．例6已知a、b、c为△ABC三边的长，求证：abc≥(a+b－c)(b+c－a)(c+a－b)．证明：设m=b+c－a，n=c+a－b，p=a+b－c，则由三角形两边之和大于第三边，得m＞0，n＞0，p＞0，且a=，b=，c=．于是abc=··≥··=mnp=(a+b－c)(b+c－a)(c+a－b)．七、配对根据已知

6、不等式的某一边结构，给其配上一个与之对称的代数式，然后将两个代数式联立再使用基本不等式，完成不等式的证明．例7设a，a，…，a和b，b，…，b均为正数，且a+a+…+a=b+b+…+b，求证：++…+≥(a+a+…+a)．证明：设M=++…+，给M配对：N=++…+．则M－N=++…+=(a－b)+(a－b)+…+(a－b)=(a+a+…+a)－(b+b+…+b)=0．∴M=N．当注意到a+b≥(a+b)和a+a+…+a=b+b+…+b得：M+N=++…+≥(a+b)+(a+b)+…+(a+b)=(a+a+…+a)+

7、(b+b+…+b)=a+a+…+a．由M=N，所以++…+≥(a+a+…+a)．