2019版一轮优化探究理数练习：第十一章 第九节　二项式定理 含解析

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1、一，填空题1．(－)6的展开式中，x3的系数等于________．解析：设含x3项为第(k＋1)项，则Tk＋1＝C·()6－k·()k＝C·x6－k··(－y)k·＝C···(－y)k，∴6－k－＝3，即k＝2，∴T3＝C·x3··y2＝C·x3，其系数为C＝＝15.答案：15(只写C或C也可)2．已知n为正偶数，且(x2－)n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是________．(用数字作答)解析：n为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n＝6，第4项系数为C(－)3＝－.答案：－3．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a

2、2＋a3＋a4＋a5＝________.(用数字作答)解析：由题设令x＝0得a0＝(－2)5＝－32，令x＝1得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1，故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31.答案：314．(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．解析：(1＋x＋x2)(x－)6＝(1＋x＋x2)·(C06x6(－)0＋Cx5(－)1＋C26x4(－)2＋Cx3·(－)3＋C46x2(－)4＋C56x(－)5＋Cx0(－)6)＝(1＋x＋x2)(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)．所以常数项为1×(－20)＋x2·＝－5.答案：－55．

3、在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x的系数为________．(用数字作答)解析：由条件易知(1＋x)3，(1＋)3，(1＋)3展开式中x项的系数分别是C，C，C，即所求系数是3＋3＋1＝7答案：76．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.解析：(1＋)5＝C05()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，由已知，得41＋29＝a＋b，∴a＋b＝41＋29＝70.答案：707．(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．解析：－C＋(－C)＝－2C＝－2

4、40.答案：－2408．(x－y)4的展开式中x3y3的系数为________．解析：(x－y)4＝x2y2(－)4，只需求(－)4的展开式中含xy项的系数：C＝6.答案：69．若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．解析：ar＝(－1)rC·12009－r·2r，则a1，a2，…，ar都能表示出来，则＋＋…＋＝(－1)rC＝(1－2)2009＝－1.答案：－1二，解答题10．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)

5、a0

6、＋

7、a1

8、＋

9、a2

10、＋

11、a3

12、＋

13、a4

14、

15、＋

16、a5

17、；(3)a1＋a3＋a5；(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.解析：设f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243.(1)∵a5＝25＝32，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.(2)

18、a0

19、＋

20、a1

21、＋

22、a2

23、＋…＋

24、a5

25、＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－f(－1)＝243.(3)∵f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋a5)，∴a1＋a3＋a5＝＝122.(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a

26、5)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)＝f(1)×f(－1)＝－243.11．已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于(x2＋)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．解析：由(x2＋)5得，Tk＋1＝C(x2)5－k()k＝令Tk＋1为常数项，则20－5k＝0，∴k＝4，∴常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意得2n＝16，∴n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴Ca4＝54，∴a＝±.12．已知(－)n的展开式

27、中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，C()，C()2，且2C·＝1＋C()2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，∴展开式的第k＋1项为C()8－k(－)k(1)证明：若第k＋1项为常数项，当且仅当＝0，即3k＝16，∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当为整