2019版一轮优化探究理数练习：第十一章 第十二节　离散型随机变量的均值与方差 含解析

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1、1．随机变量X的概率分布如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，求V(X)的值．解析：由已知，解得，V(X)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.2．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又X的数学期望E(X)＝3，求a＋b的值．解析：X的概率分布为X1234Pa＋b2a＋b3a＋b4a＋b则k＝10a＋4b＝1，①E(X)＝(Xk·pk)＝30a＋10b＝3，②由①②解得a＝，b＝0，所以a＋b＝.3．某运动员射击一次所得环数X的概率分布如下：X0～678910P00.20

2、.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击击中的最高环数作为他的成绩，记为X.(1)求该运动员两次都命中7环的概率；(2)求X的概率分布；(3)求X的数学期望E(X)．解析：(1)设该运动员两次都命中7环为事件A，因该运动员在两次射击中，第一次中7环与第二次中7环互不影响，故所求的概率为P(A)＝0.2×0.2＝0.04.故该运动员两次都命中7环的概率为0.04.(2)由题设可知，X的可能取值为7,8,9,10，设相应的概率为P(X＝i)(i＝7,8,9,10)，则P(X＝7)＝0.04，P(X＝8)＝2×0.2×0.3＋0.32＝0.21，P(X＝9)

3、＝2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32＝0.39，P(X＝10)＝1－P(X＝7)－P(X＝8)－P(X＝9)＝1－0.04－0.21－0.39＝0.36.于是所求X的概率分布为X78910P0.040.210.390.36(3)由(2)可得，X的数学期望为E(X)＝7×0.04＋8×0.21＋9×0.39＋10×0.36＝9.07.故X的数学期望为9.07.4．某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为，且每个问题的解答互不影响．(1)求该同学答对问题的个数X的期望与方差；(2)设答对一个题目得10分，否

4、则扣1分，求该同学得分Y的期望．解析：(1)由题意知，解答这5个问题，答对的个数X服从二项分布，即X～B(5，)，由二项分布的期望与方差的公式有E(X)＝np＝5×＝，V(X)＝npq＝5××(1－)＝.(2)∵该同学的得分Y，Y＝10X＋(5－X)×(－1)＝11X－5，∴得分Y的期望为E(Y)＝E(11X－5)＝11E(X)－5＝11×－5＝.