2019版一轮优化探究理数练习:第九章 第九节 曲线与方程 含解析

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1、一,填空题1.长度为定值a的线段,两端点分别在x轴,y轴上移动,则线段中点P的轨迹方程是________.解析:设线段在x轴,y轴上的端点分别为A(xA,0),B(0,yB),线段AB的中点P的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得x=,y=,则xA=2x,yB=2y,又

2、AB

3、=a,所以==a,即x2+y2=()2,即线段中点P的轨迹方程是x2+y2=()2.答案:x2+y2=()22.已知点F(,0),直线l:x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是________.解析:由已

4、知:

5、MF

6、=

7、MB

8、.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线.答案:抛物线3.已知直线l:y=kx+1与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于A,B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程为________.解析:直线l与y轴的交点为N(0,1),圆心C(2,3),设M(x,y),∵MN与MC所在直线垂直,∴·=-1(x≠0且x≠2),当x=0时不符合题意,当x=2时,y=3符合题意,∴AB中点的轨迹方程为:x2+y2-2x-4y+3=0(

9、y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为________.解析:M为AQ垂直平分线上一点,则

10、AM

11、=

12、MQ

13、,∴

14、MC

15、+

16、MA

17、=

18、MC

19、+

20、MQ

21、=

22、CQ

23、=5,∴点M的轨迹是以C,A为焦点的椭圆.∴a=,c=1,则b2=a2-c2=,∴椭圆的标准方程为+=1.答案:+=15.已知定点F1,F2和动点P满足

24、-

25、=2,

26、+

27、=4,则点P的轨迹为________.解析:以F1F2所在直线为x轴,以F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图.∵

28、

29、-

30、=

31、

32、=2,∴F1(-1,0),F2(1,0).设P(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),∴+=(-2x,-2y).∴

33、+

34、==4,即x2+y2=4.∴点P的轨迹是圆.答案:圆6.在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当点P运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和,则点P的轨迹C是____________________________________________.解析:设点P的坐标为(x,y),则d=4+3

35、x-2

36、,由题设知,d=18+x,即4

37、+3

38、x-2

39、=18+x.①当x>2时,由①得=6-x,化简得+=1.当x≤2时,由①得=3+x,化简得y2=12x.故点P的轨迹C是由椭圆C1:+=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C2:y2=12x在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线.答案:由椭圆C1:+=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C2:y2=12x在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线7.△ABC中,A为动点,B,C为定点,B(-,0),C(,0),且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是_______

40、_.解析:由正弦定理:-=×,∴

41、AB

42、-

43、AC

44、=

45、BC

46、,且为双曲线的右支.∴动点A的轨迹方程为-=1(x>0且y≠0).答案:-=1(x>0且y≠0)8.平面内与定点(-1,2)和直线3x+4y-5=0的距离相等的点的轨迹是________.解析:∵(-1,2)在直线3x+4y-5=0上,∴轨迹是过定点(-1,2)且垂直于3x+4y-5=0的直线.答案:直线9.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是________.解析:设P(x1,y1),M(x,y),则y=x1.①又M为AP中点,∴,∴

47、代入①得(2y)2=2x-2,即y2=(x-1).答案:y2=(x-1)二,解答题10.已知抛物线y2=2x,O为顶点,A,B为抛物线上两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB,垂足为M,求M点的轨迹.解析:解法一 设直线OA的方程为y=kx,则直线OB的方程为y=-x.由得k2x2=2x,则x=0或x=,∴A点坐标为(,),将A点坐标中的k换为-,可得B点坐标(2k2,-2k),则直线AB的方程为y+2k=(x-2k2),即y=(x-2).①又直线OM的方程为y=x,②①×②整理得(x-1)2+y2=1(x≠0)所求轨迹为以(1,

48、0)为圆心,半径为1的圆(去掉原点).解法二 求直线AB的方程同解法一.直线AB过N(2,0)点,因此△OMN为直角三角形,∴点M在以ON为直径的圆上运动,点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠0).11.已知曲线C:y=x2与

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