2019版一轮优化探究理数练习：第九章 第九节　曲线与方程 含解析

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1、一，填空题1．长度为定值a的线段，两端点分别在x轴，y轴上移动，则线段中点P的轨迹方程是________．解析：设线段在x轴，y轴上的端点分别为A(xA,0)，B(0，yB)，线段AB的中点P的坐标为(x，y)，由中点坐标公式，得x＝，y＝，则xA＝2x，yB＝2y，又

2、AB

3、＝a，所以＝＝a，即x2＋y2＝()2，即线段中点P的轨迹方程是x2＋y2＝()2.答案：x2＋y2＝()22．已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是________．解析：由已

4、知：

5、MF

6、＝

7、MB

8、.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．答案：抛物线3．已知直线l：y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于A，B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为________．解析：直线l与y轴的交点为N(0,1)，圆心C(2,3)，设M(x，y)，∵MN与MC所在直线垂直，∴·＝－1(x≠0且x≠2)，当x＝0时不符合题意，当x＝2时，y＝3符合题意，∴AB中点的轨迹方程为：x2＋y2－2x－4y＋3＝0(

9、y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为________．解析：M为AQ垂直平分线上一点，则

10、AM

11、＝

12、MQ

13、，∴

14、MC

15、＋

16、MA

17、＝

18、MC

19、＋

20、MQ

21、＝

22、CQ

23、＝5，∴点M的轨迹是以C，A为焦点的椭圆．∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝15．已知定点F1，F2和动点P满足

24、－

25、＝2，

26、＋

27、＝4，则点P的轨迹为________．解析：以F1F2所在直线为x轴，以F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图．∵

28、

29、－

30、＝

31、

32、＝2，∴F1(－1,0)，F2(1,0)．设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴＋＝(－2x，－2y)．∴

33、＋

34、＝＝4，即x2＋y2＝4.∴点P的轨迹是圆．答案：圆6．在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x＝2的距离的3倍之和记为d，当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，则点P的轨迹C是____________________________________________．解析：设点P的坐标为(x，y)，则d＝4＋3

35、x－2

36、，由题设知，d＝18＋x，即4

37、＋3

38、x－2

39、＝18＋x.①当x>2时，由①得＝6－x，化简得＋＝1.当x≤2时，由①得＝3＋x，化简得y2＝12x.故点P的轨迹C是由椭圆C1：＋＝1在直线x＝2的右侧部分与抛物线C2：y2＝12x在直线x＝2的左侧部分(包括它与直线x＝2的交点)所组成的曲线．答案：由椭圆C1：＋＝1在直线x＝2的右侧部分与抛物线C2：y2＝12x在直线x＝2的左侧部分(包括它与直线x＝2的交点)所组成的曲线7．△ABC中，A为动点，B，C为定点，B(－，0)，C(，0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是_______

40、_．解析：由正弦定理：－＝×，∴

41、AB

42、－

43、AC

44、＝

45、BC

46、，且为双曲线的右支．∴动点A的轨迹方程为－＝1(x>0且y≠0)．答案：－＝1(x>0且y≠0)8．平面内与定点(－1,2)和直线3x＋4y－5＝0的距离相等的点的轨迹是________．解析：∵(－1,2)在直线3x＋4y－5＝0上，∴轨迹是过定点(－1,2)且垂直于3x＋4y－5＝0的直线．答案：直线9．已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是________．解析：设P(x1，y1)，M(x，y)，则y＝x1.①又M为AP中点，∴，∴

47、代入①得(2y)2＝2x－2，即y2＝(x－1)．答案：y2＝(x－1)二，解答题10．已知抛物线y2＝2x，O为顶点，A，B为抛物线上两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB，垂足为M，求M点的轨迹．解析：解法一　设直线OA的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x.由得k2x2＝2x，则x＝0或x＝，∴A点坐标为(，)，将A点坐标中的k换为－，可得B点坐标(2k2，－2k)，则直线AB的方程为y＋2k＝(x－2k2)，即y＝(x－2)．①又直线OM的方程为y＝x，②①×②整理得(x－1)2＋y2＝1(x≠0)所求轨迹为以(1,

48、0)为圆心，半径为1的圆(去掉原点)．解法二　求直线AB的方程同解法一．直线AB过N(2,0)点，因此△OMN为直角三角形，∴点M在以ON为直径的圆上运动，点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)．11．已知曲线C：y＝x2与