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1、第3章函数逼近与曲线拟合函数逼近的基本概念正交多项式—LagrangeandChebyshev最佳一致逼近多项式最佳平方逼近多项式曲线拟和的最小二乘法本章基本内容本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体某些点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了拟合和逼近的概念.拟合与逼近对函数类A中给定的函数f(x),记作f(x)∈A,要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数p(x)∈B,使p(x)与f(x)的误差在某种意义下最小
2、.函数类A通常是区间[a,b]上的连续函数,记作C[a,b],称为函数逼近空间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分段低次多项式等.什么是函数逼近数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定关系称为集合以某种空间结构赋予，并将这样的集合称为空间。例1、按向量的加法和数乘构成实数域上的线性空间---例2、对次数不超过n的实系数多项式，按加法和数乘构成数域上的多项式线性空间----例3、所有定义在[a,b]集合上的连续函数全体，按函数的加法和数乘构成连续函数空间----1)线性相关与线性无关设集合S是数域P上的线性空间,元素x1,x2,…,x
3、n∈S,如果存在不全为零的数a1,a2,…,an∈P,使得3.1函数逼近的基本概念则称x1,x2,…,xn线性相关.否则，如果等式只对a1=a2=…=an=0成立，则称x1,x2,…,xn线性无关。魏尔斯特拉斯定理设f(x)∈C[a,b],则对任何ε＞0,总存在一个代数多项式p(x),使在[a,b]上一致成立。伯恩斯坦的构造性证明：2)范数的定义设S为线性空间,x∈S,若存在唯一实数‖·‖满足条件：(1)‖x‖≥0;当且仅当x＝0时,‖x‖＝0;(正定性)(2)‖αx‖＝
4、α
5、‖x‖,α∈R;(齐次性)(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖,x
6、,y∈S.(三角不等式)则称‖·‖为线性空间S上的范数,S与‖·‖一起称为赋范线性空间,记为X.在Rn上的向量x＝(x1,x2,…,xn)T∈Rn,三种常用范数为称为：3)几种常用范数类似的对连续函数空间C[a,b],若f∈C[a,b]可定义以下三种常用函数的范数记区间[a,b]上所有连续函数的全体为C[a,b],可以证明C[a,b]是一个线性空间,把所有次数不超过n的多项式全体记为Pn,则Pn是C[a,b]的子空间.若(x),g(x)C[a,b],则称为(x)与g(x)的内积,记为(,g),函数的内积满足(1)(,g)=(g,
7、);若(,g)=0,称(x)与g(x)正交,记为g.(2)(c,g)=c(,g);(3)(1+2,g)=(1,g)+(2,g);利用内积可以定义函数的平方模(1)20,而且2=0(x)=0;(2)c2=
8、c
9、2;(3)+g22+g2(4)(,g)2g2函数的平方模满足设X为一个内积空间,对称为柯西－施瓦次不等式.柯西－施瓦次不等式u,v∈X有定理：设X为一个内积空间,u1,u2,…,un∈X,矩阵称为格拉姆矩阵,则G
10、非奇异的充分必要条件是u1,u2,…,un线性无关。考虑到(x)在区间[a,b]上各点的函数值比重不同,常引进加权形式的定义这里函数(x)是非负连续函数,称为[a,b]上的权函数.它的物理意义可以解释为密度函数.权函数最佳逼近3.2正交多项式1)正交的定义若f(x),g(x)∈C[a,b],ρ(x)为[a,b]上的权函数且满足则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权正交.若函数族满足关系则称是[a,b]上带权ρ(x)正交函数族；若则称之为标准正交函数族。设是[a,b]上首相系数an≠0的n次多项式,ρ(x)为[a,b]上的权函数,如果
11、多项式序列满足关系式(2),则称多项式序为在[a,b]上带权ρ(x)正交,称为[a,b]上带权的n次正交多项式.例如、三角函数系：1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…是区间［-π，π］上的正交函数系，因为实际上，这就是付里叶(Fourier)逼近的基函数.2)如何构造正交多项式只要给定区间[a,b]及权函数,均可由一组线性无关的幂函数{1,x,…,xn,…},利用逐个正交化手法构造出正交多项式序列如此得到的正交多项式有如下性质：(1)是具有最高次项系数为1的n次多项式(2)任何n次多项式Pn(x)∈Hn均可表示为的线性组
12、合.即(3)当k≠j时,与任一次数小于k的多项式正交.(4)成立递推关系(5)设是在[a,b]上带权ρ(x)的正交多项式序列,则(n≥1)的n个根都是在区间(a,b)内的单重实根.例题：利用G
