第3章函数逼近与曲线拟合(演示)

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1、第三章函数逼近与曲线拟合1函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数•实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀,满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设/(劝是[-1,1]±8的光滑函数，它的Taylor级数f(x)=^akxk,k=0色二口£

2、2在上收敛。当此级数收敛比较k快时,en(x)二f(x)-sn(x)uan+lxn+l。这个误差分布是不均匀的。当*0时，色(0)=0,而卜

3、离开零点增加时，匕(珂单调增加，在x二±1误差最大。为了使［-1,1］的所有X满足f(x)-sn(x)<£,必须选取足够大的〃，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示,给出五个

4、点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。图1实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近1.2范数与逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运

5、算,使其构成线性空间.例如将所有实〃维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作称为〃维向量空间.类似地，对次数不超过〃的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R上一个线性空间，用比表示,称为多项式空间.所有定义在切上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R上的线性空间,记作C[a,b].类似地,记Cp[a,b]为具有卩阶连续导数的函数空间.在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对

6、一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间.定义1设X是数域K上一个线性空间，在其上定义一个实值函数

7、

8、口

9、

10、,即对于任意及aeK,有对应的实数制和

11、卜

12、

13、,满足下列条件(1)正定性：

14、

15、x

16、

17、>0,而且

18、

19、x

20、

21、=0当且仅当x=0；(2)齐次性：

22、H=

23、a

24、

25、

26、x

27、

28、；(3)三角不等式：称

29、冋为x上的范数，定义了范数的线性空间就称为赋范线性空间.以上三个条件刻划了“长度”、“大小”及“距离”的本质，因此称为范数公理

30、.对X"上的任一种范数

31、冋，X%显然W

32、

33、x±j

34、

35、>

36、

37、x

38、

39、-

40、

41、j

42、

43、.川上常用的几种范数有：(1)向量的g-范数：卜

44、L=maxx.

45、

46、4=LI^IZ=1斤_L(3)向量的2-范数：制;=1“丄(4)向量的卩-范数：卜(工卜『)〃i=l其中厂[1严)，可以证明向量函数N(x)三卜L是疋上向量的范数•前三种范数是P-范数的特殊情况(制8=lim

47、

48、x

49、

50、^).我们只需表明(1).事实上丄P(n/=1

51、

52、=

53、

54、—>8lim

55、

56、x

57、

58、p—Pl

59、

60、几(1)2-范数:

61、

62、/

63、

64、2=们/(兀)「閱2可以验证这样定义的范数均满足定义1中的三个条件.二、内积与内积空间在线性空间中，仅规定了加法与数乘两种运算.为了使线性空间中的向量元素之间具有夹角的概念，我们需引入第二种运算一内积.定

65、义2设X是数域K(人或C)上的线性空间,X有K中一个数与之对应，记为(u°),它满足以下条件一一内积公理：(1)共辄对称性：(%*)=丽5,Vw,veX(2)第一变元线性：(au+0几w)=a(u.w)+0(比w),V/0GK./u,v,weX(3)正定性：(w,w)>0,当且仅当%=0时,(％,%)=0则称二元函数仏巧为X上况与V的内积淀义了内积的线性空间称为内积空间.当X实线性空间，称X是实内积空间；当X复线性空间，称X是复内积空间.如果(u,v)