第4章根轨迹法(1).ppt

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1、第四章根轨迹法Chapter4ROOTLOCUS本章重点内容根轨迹的基本概念根轨迹绘制的基本规则参量根轨迹的绘制用根轨迹法分析闭环控制系统的性能4.1根轨迹法的基本概念4.1.1根轨迹的概念根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。开环传递函数为闭环特征方程式为显然，特征方程式的根是由上式可见，特征根s1和s2都将随着参变量K的变化而变化。下表列出了当参变量K由零变化到无穷大时，特征根s1和s2相应的变化关系。以K为参变量，把上表中所示的s1和s2画在s平面上，并分别把

2、它们连成曲线，就得到该系统的根轨迹，如右图所示。图中箭头的指向表示K增大时根的移动方向。而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开环增益K的数值。4.1.2根轨迹与系统性能1.稳定性当开环增益从零变到无穷时，右图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此例1系统对所有的K值都是稳定的。如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹就有可能越过虚轴进入s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。2.稳态性能由右图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I型系统，因而通过根轨迹上的K值就可以确定静态速度

3、误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数K不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。3.动态性能由右图可见，当时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较情况为快；当时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而增大，但调节时间的变化不会显著。4.1.3根轨迹的幅值条件和相角条件

4、设单闭环控制系统的一般结构如右图所示。该系统的特征方程式为由上式可知，凡是满足方程的s值，就是该方程式的根，或者说是根轨迹上的一点。由于s是复数，上式等号的左端也必是复数，因而该式可改写为于是得上面俩式分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件。为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形式，假设系统的开环传递函数为如下形式：在s平面上，零极点分别用符号表示。若把上式分子、分母中的各因式以极坐标形式来表示，即令于是求得根轨迹具体形式的幅值条件和相角条件为相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。由于相角条件是绘制根轨迹的

5、基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：先找出s平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值。例4-1利用幅值条件和相角条件绘制如图所示系统的根轨迹。解：(1)本例的开环传递函数为它的开环极点为0和–1，没有开环零点。(2)用相角条件绘制根轨迹本例的相角条件为根据上式，用试探法寻求s平面上满足相角条件的点。1)在正实轴上任取一试验点s1，如图4-4(a)所示，由于，因而该点不满足根轨迹的相角条件。由此可知，在正实轴上不存在系统的根轨迹。。因而该点不满足相角条件，即–1点左

6、侧的实轴上不存在该系统的根轨迹。。因而该点满足相角条件。由此可知，(0,–1)间的实轴是该系统的根轨迹。2)在(0,–1)间的实轴上任取一试验点s2，如图4-4(b)所示，由于，3)在–1点左侧实轴上任取一试验点s3，如图4-4(c)所示，由于4)在s平面上任取一点s4，如图4-4(d)所示，令，。如果点s4位于根轨迹上，则应满足相角条件，即。显然，只有当时，才能满足此条件。由此可知，坐标原点与–1之间的实轴的垂直平分线上的点均能满足相角条件，因而该垂直平分线也是系统根轨迹的一部分。(3)用幅值条件确定增益K系

7、统的幅值条件为由上式可以求得根轨迹上各点所对应的K值。例如，图4-4(d)中的重根s1,2=–0.5，其对应的K值为用试探法绘制系统的根轨迹既麻烦又费时，因而也不便于实际应用。根轨迹增益与系统的开环增益的关系如下式中，为的零点；为的极点。根轨迹形式系统一般形式上式表示了系统的闭环极点与其开环零、极点间的关系。基于这种关系，就可以根据开环零、极点的分布确定相应闭环极点的位置。由于根轨迹是根据系统的开环零、极点去绘制的，因而开环传递函数以零极点形式表示，将便于对根轨迹的绘制。