5第五讲 积分的概念和柯西古萨定理.ppt

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1、复变函数和场论西安电子科技大学电子工程学院第五讲积分的概念积分的定义积分存在条件和计算方法柯西古萨基本定理复合闭路定理积分的定义设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线.如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),则将C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.设曲线C的两个端点为A与B,如果将A到B的方向作为C的正方向,则从B到A的方向就是C的负方向,并记作C-.常将两个端点中一个作为起点,另一个作为终点,则正方向规定为起点至终点的方向.而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时,邻近P点的曲线内部始终位于P点

2、的左方.定义设函数w=f(z)定义在区域D内,C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线.把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=BAz1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO在每个弧段zk-1,zk(k=1,2,...,n)上任意取一点k,并作和式容易看出,当C是x轴上的区间axb,而f(z)=u(x)时,这个积分定义就是一元实函数定积分的定义.积分存在的条件及计算法设光滑曲线C由参数方程z=z(t)=x(t)+iy(t),atb(3.1.2)给出,正方

3、向为参数增加的方向,参数a及b对应于起点A及终点B,并且z‘(t)0,a

4、以写成如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲线首尾连接而成,则我们定义3.积分的性质例1计算,其中C为以z0为中心,r为半径的正向圆周,n为整数.z0rqz-z0=reiqzOxy[解]C的方程可写作z=z0+reiq,0q2p,dz=ireiqdq所以这个结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关.应当记住.例2计算其中1)C为原点到点3+4i的直线段.1)C为原点到点(3,0)的线段加上从（3,0）到（3+4i)的折线段.[解]1)直线的方程可写作x=3t,y=4t,0t1,或z=3t+i4t,0t1

5、.在C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt.于是[解]2)C1的直线的方程可写作x=3t,y=00t1,z=3t,dz=3dt.C2的直线方程可写作x=3,y=4t0t1.z=3+4it,dz=4idt.于是Let'shavearest!练：C为圆周

6、z-1

7、=2，证明[证]法一：C的长度L=2*2π法二：法二：余同计算,其中C为以z0为中心,r为半径的正向圆周,n为整数.z0rqz-z0=reiqzOxy练计算其中1)C为原点到点3+4i的直线段.2)C为原点到点(3,0)的线段C1加上从（3,0）到（3+4i)的

8、折线段C2.xyZ平面（3+4i)(3,0)CC1C2[解]1)C直线的方程可写作x=3t,y=4t,0t1,或z=3t+i4t,0t1.在C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt.于是[解]2)C1的直线的方程可写作x=3t,y=00t1,z=3t,dz=3dt.C2的直线方程可写作x=3,y=4t0t1.z=3+4it,dz=4idt.于是柯西-古萨基本定理如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,则它在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:CB设函数f(z)在多连通域D内解析,C为D内的任意一条简单闭曲线,推广当

9、C的内部完全含于D时设函数f(z)在多连通域D内解析,C为D内的任意一条简单闭曲线,当C的内部不完全含于D时？DCC1AA'BB'FEE'F'将上面两等式相加,得(3.3.1)说明,如果将C及C1-看成一条复合闭路G,其正向为:沿C逆时针,沿C1-顺时针,则(3.3.2)说明,在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点.这一重要事实,称为闭路变形原理D变形过程中不能够经过f(z)不解析的点定理(复合闭路定理)设C为多连通域D内的一条简单闭曲线,C1,C2,.

10、..,Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C,C1,C2,...,Cn为边界的区域全含于D.如果f(z)在D内解析,则G为由C及Ck(k=1,2,...,n)所组成的复合