专题七 二次函数特殊四边形的存在性问题.ppt

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1、专题七二次函数综合题类型三　特殊四边形的存在性问题(遵义2014.27(3)；铜仁2018.25(2))【方法指导】①平行四边形的判定已知问题找点求点坐标已知三个点已知平面上不共线三个点A、B、C，求一点P，使得A、B、C、P四个点组成平行四边形连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点P①分别求出直线P1P2，P2P3，P1P3的解析式，再求出交点即为P点；②可由点的平移来求坐标已知两个点已知平面上两个点A、B，求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成平行四边形(题

2、目中P、Q的位置有具体限制)分两种情况讨论：①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；②若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置①通过点的平移，构造全等三角形来求坐标；②由中点坐标公式可推出：坐标系中▱ABCD的四个点A、B、C、D的坐标满足xA＋xC＝xB＋xD；yA＋yC＝yB＋yD②矩形、菱形的判定方法参照①中平行四边形的判定．典例精讲例已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式、顶点坐

3、标和对称轴；例题图①【思维教练】要求抛物线的解析式，需将A，B，C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，解方程组即可；把抛物线一般式化成顶点式，可得抛物线的顶点坐标和对称轴．解：将点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入y＝ax2＋bx＋c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.把y＝x2－4x＋3化成顶点式为y＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x＝2；(2)过点C作CD平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，试判断四边形ABDC的形状，并说明理由；例题图②【思维

4、教练】要判断四边形ABDC的形状，观察发现：四边形ABDC为平行四边形，结合已知条件有CD∥AB，再设法证明AB＝CD即可．解：四边形ABDC是平行四边形．理由如下：∵D点在抛物线的对称轴上，CD∥x轴，∴D点的横坐标为2，即CD＝2，∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝2，∴AB＝CD，又∵CD∥AB，∴四边形ABDC是平行四边形；(3)如果点G是直线BC上一点，点H是抛物线上一点，是否存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点H的坐标；例题图③【思维教练】先假

5、设存在满足条件的点G和H，由于OC的长度和位置确定，所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与OC相等，据此可求出点H的坐标．解：存在，如解图①，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点B(3，0)，C(0，3)代入可得：，解得，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵点G在直线BC上，点H在抛物线上，且以点G，H，O，C构成的四边形是以OC为边的平行四边形，∴GH⊥x轴，GH＝OC，∴设G点坐标为(n，－n＋3)，H点坐标为(n，n2－4n＋3)，例题解图①∵GH＝OC＝3，∴GH＝

6、n2－4n＋3－(－n＋3

7、)

8、＝

9、n2－3n

10、＝3，当n2－3n＝3时，解得n＝；当n2－3n＝－3时，方程无解；∵当n＝时，n2－4n＋3＝；当n＝时，n2－4n＋3＝.综上所述，存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为(，)或(，)；例题解图①(4)如果点M在直线BC上，点N在抛物线上，是否存在这样的点M和N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；例题图④【思维教练】先假设存在满足条件的点M、N，因为AB长度和位置确定，故需分AB作边还是对角线两种情况进

11、行讨论：当AB为边时，则MN∥AB，且MN＝AB，据此可求出点N的坐标；当AB为对角线时，则MN与AB互相平分，从而确定点N的坐标．解：存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．①当AB为平行四边形的边时，需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左边还是右边)，如解图②，(ⅰ)当点M在点N的左边时，设点N的坐标为(m，m2－4m＋3)，则点M的坐标为(m－2，－m＋5)，∵四边形ABNM是平行四边形，∴m2－4m＋3＝－m＋5，解得m＝，当m＝时，m2－4m＋3＝；当m＝时，m2－4m＋3

12、＝.∴点N的坐标为(，)或(，)；例题解图②(ⅱ)当点M在点N的右边时，设点N′的坐标为(m，m2－4m＋3)，则点M′的坐标为(m＋2，－m＋1)，∵四边形ABM′N′是平行四边形，∴m2－4m＋3＝－m＋1，解得m＝1或2，∵当m＝1时，点N与点A重合，故舍去；当m＝2时，m2－4m＋3＝－1，∴点N的坐标为(2，－1)；②当AB为平行四边形的对角线时，则MN与AB互相平分，如解图③，AB与MN