函数的单调性与导数.ppt

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1、1.3.1函数的单调性与导数海阳市第二中学侯振良oyxyox1oyx1在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间单调性的概念对于给定区间上的函数f(x):1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x

2、)在这个区间上是减函数对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值.分析：原题意等价于函数y=3x2+ax与y=x2-ax+1在x=1的导数相等，即：6+a=2-a知识回放例已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离分析：点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a=-1.老

3、题新做ox1y1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？新课引入首页2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。结论：一般地，函数y＝f（x）在某个（a，b）区间内可导：如果恒有f′(x)>0，则f（x）是增函数。如果恒有f′(x)<0，则f（x）是减函数。如果恒有f′(x)=0，则f（x）是常数。【注】：注意在某一区间内f'(x)>0(或者f'(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增（或减）函数的充分不必要条件。例如：f(x)=x3；即

4、若在某个区间上有有限个点使得f'(x)=0,而在其余的点恒有f'(x)>0(或f'(x)<0),则该函数在该区间上仍为增函数（减函数）确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。xyo解：函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)令6x2－12x>0,解得x>2或x<0∴当x∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；当x∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数令6x2－12x<0,解得,0

5、f(x)是常数。求函数单调区间的步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数f'(x)（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。解f'(x)>0得到单调增区间，解f'(x)<0得到单调减区间f’(x)>0f’(x)<0f’(x)＝0例题:判断下列函数的单调性(1)f(x)=x3+3x;解：f'(x)=3x2+3>0恒成立，所以函数f(x)在定义域R上单调递增，即单调递增区间是R。(2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);解：f'(x)=cosx-1,因为f'(x)<0恒成立，所以函数f(x)在给定区间（0,π）上

6、是减函数(3)f(x)=2x3+3x2-12x+1;解：f'(x)=6x2+6x-12,令f'(x)>=0解得：x>=1或x<=-2.(4)f(x)=ex-x;解：f'(x)=ex-1,令f'(x)>=0得：x>=0.故，当x>=0时，有f'(x)>=0;当x<0时，f'(x)<0.例1：分析：因为此函数为奇函数，所欲只需要讨论函数在（0,1）上的单调性即可当00,则f'(x)<0,函数在（0,1）上是减函数；若b<0，则f'(x)>0,函数在（0,1）上是增函数又函数是奇函数，而奇函数在两对称区间上具有相同的单调性所以，当b>0时，函数

7、f(x)在（-1,1）上是减函数当b<0时，函数f(x)在（-1,1）上是增函数例2：已知a>0,函数f(x)=x3-ax在x>=1时是单调递增函数。求a的取值范围分析：由题目可获得以下主要信息：利用函数的单调性讨论参数问题：求函数y=f(x)的单调增区间、减区间的方法分别是解不等式f'(x)>0，f'(x)<0所得的x的取值集合；反过来，若已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中的参数值怎么办？这类问题往往转化为不等式的恒成立问题：即f'(x)>=0在D上恒成立，求f(x)中的参数，并要验证f'(x)在区间D上不恒为0。(1)求f(x)的解析式分析：

8、由题目可获得以下信息：（1）.x=0，x=1是方程f'(x)=0的