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1、导数与函数单调性的关系一、利用导数判断函数的单调性例1、已知函数f(x)=x-klnx，常数k>0.(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数，求k的取值范围.二、利用导数研究某个区间上恒为单调函数的问题(2)函数y=f(x)在区间D上是增函数.(1)函数y=f(x)的单调增区间为D思考：以下两个命题是不是同一个命题？举例：f(x)=x3f(x)在区间D上为增函数(或减函数)的充要条件是：对任意的x∈D都有f’(x)≥0(f’(x)≤0)恒成立且在D内的任一非空子区间上f’(x)不恒为0
2、.例1、已知函数f(x)=x-klnx，常数k>0.(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数，求k的取值范围.注意：“＝”是否可以取到.(1)当a=2时，求f(x)的最小值;(2)若f(x)在(1,e]上为单调函数，求实数a的取值范围.1、已知函数f(x)=ax+-3lnx.作业(2)若f(x)=,(其中a为正实数)为R上的单调函数,则a的取值范围是()(A)(0,+∞).(B)(0,1).(C)(0,1].(D)[1,+∞).(2)已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x的单调递增
3、区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞),则a的值为()(A)-1.(B)0.(C)1.(D)2.21.已知函数f(x)=eg(x),g(x)=(e是自然对数的底).(1)若函数g(x)是(1,+∞)上的增函数,求k的取值范围;17.已知函数f(x)=x-klnx,常数k>0.三、解答题(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求f(x)的单调区间;(2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求k的取值范围.【解析】(1)定义域为(0,+∞),f'(x)=1-,因为x=1是函数f(x)的一个极值点,f'(1)=0⇒k=1,经检验k=1为所求,∴
4、f'(x)=1-.令f'(x)>0⇒x∈(1,+∞),再令f'(x)<0⇒x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,∴g'(x)=2x-k(1+lnx)≥0对x∈(1,2)恒成立,即k≤对x∈(1,2)恒成立.令h(x)=,则知h'(x)=>0对x∈(1,2)恒成立,∴h(x)=在x∈(1,2)单调递增,h(x)>h(1)=2,故k≤2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练1设函数f(x)=x2+bln(x+1),若函数f(x)
5、在定义域上是单调函数,求b的取值范围.【解析】∵f'(x)=2x+=,又函数f(x)在定义域上是单调函数,∴f'(x)≥0,或f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.若f'(x)≥0,∵x+1>0,∴2x2+2x+b≥0在(-1,+∞)上恒成立,即b≥-(2x2+2x)=-2(x+)2+恒成立,由此得b≥;若f'(x)≤0,∵x+1>0,∴2x2+2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立,因-(2x2+2x)在(-1,+∞)没有最小值,∴不存在实数b使f'(x)≤0恒成立.综上,实数b的取值范围是[,+∞).考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾
6、遗例题备选例1已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数.题型1利用导数研究某个区间上恒为单调函数的问题(1)若f(x)在x=1处取得的极值为2,求a,b的值;(2)若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围.【分析】要使函数f(x)在区间[-1,2]内是减函数,只需f(x)的导数在区间[-1,2]内恒小于或等于0.【解析】(1)由题设可知:f'(1)=0且f(1)=2,即解得a=,b=-5.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)∵f'(x)=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a,又f(x)在
7、[-1,2]上为减函数,∴f'(x)≤0对x∈[-1,2]恒成立,即3x2-6ax-9a≤0对x∈[-1,2]恒成立.∴f'(-1)≤0且f(2)≤0,即则有∴a≥1,∴a的取值范围是a≥1.【点评】在处理函数在某个区间上恒为增函数或减函数的问题时,注意检验端点值是否合适.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选经典例题备选1~56~1011～12知识数据库技能数据库预测数据库经典例题备选1~56~1011～12知识数据库技能数据库预测数据库经典例题备选1~56~1011～12知识数据库技能数据库预测数据库(1)当a=2时,求f(x)的最
