2013、2014年大学先修微积分试题及解答.pdf

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1、2013、2014年大学先修微积分试题及解答郁林成森2013年大学先修课程微积分试题xsinx1.求极限lim.3x0xxsinx1cosxsinx1解：limlimlim.32x0xx03xx06x6评：第一感觉显然是L’Hopital法则，不过用Taylor展开也可以给一个很漂亮的证明.12.求极限lim(sinxcos)xsinxx0解：两边取对数ln(sinxcos)xcosxsinxlimlim1x0sinxx0cos(sinxxcos)x1所以lim(sinxcos)xs

2、inxe=2.71828x0评：1不定式，取对数是显然的，另外大概也差不多能猜出来答案是e，因为x11很小的时候，cosx1，sinxx，所以差不多是(sinxcos)xsinx(1x)x，这就11xx跟e的定义式e=lim(1)lim(1x)很像了.xxx03.fx()在上连续，有limfx()ABlimfx().xx求证：对任意的C(,)AB，存在使得f()C证明：令()xfx()C.若不然，则11lim0x()xAC11lim0x

3、()xBC1且在连续.()x所以对于任意的,0存在xx,(xx)有121211()xAC111BC()x21111即，()xAC()xBC12111适当选取,可使0，0，这表明在(,)xx中有零点，矛盾！21()x()x()x12所以存在使得f()C.评：绝对不能直接使用介值定理，因为条件不符合！因此我们需要把条件调成能用介值定理，故利用极限的定义把涉及到无穷的开区间缩小到有限的区间中.4.fx()在[,]ab连续，在(,)ab可

4、微，且有abfafb()()0faf()()02求证：对k，x(,)ab使得fx()kfx()0成立.fx()证明：令gx().xekabab由零点定理，存在(,a),(,)b使22f()f()0即g()g()，由Rolle定理：存在m(,)ab使mm1gm()fm()(ek)fme()k0k此即fm()kfm()0fx()评：辅助函数gx()的引进是重要技巧，其它类型的辅助函数的构造请查xek阅与Rolle定理相关的资料.5.序列{}a恒正，lima

5、annn1求证：lim(aaa)na12nn证明：首先证明一个引理（非常经典且有用）bbb12n若limbb，则limbnnnnccc12n令cbb，只需证：当limc0时，lim0nnnnnn取p[n]，则对于0可选取n使得当nn时有001c,c,,c均小于p1p2n2ccccccnpp1p2np1p2n()1从而nn2n2令A为c,c,,c中最大者.12p则可取充分大的n使0ccccc

6、cAp12p12p1nnn2cccccccccc12n1n12pp1p2n所以nnn至此，引理得证.回到原题，因为{}a恒正且limaannn故由引理lnalnalna12nlimlnann1此即lim(aaa)na12nn评：啥都不说了，引理是最牛B的，强烈建议记住证明……（根据Hardy老人家的观点，一个人若想真正理解极限，那最简单的是不断揣摩这个证明）6.fx()在(1,1)上有n1阶导数.对x1，有(n1)()nf()x

7、n1f(x)nfx()f(0)f(0)xxx(n1)!n!1求证：limx0n1(n1)()nf()xn1f(x)n证明：有fx()f(0)f(0)xxx(n1)!n!()n(n1)f(0)nf(x)n1fx()f(0)f(0)xxxn!(n1)!两者相减得(n1)()n()nf(x)f(x)f(0)n1由Lagrange中值定理()n()n(n1)f(x)f(0)f(x)x(n1)(n1)f(x)即f(

8、x)n1(n1)(n1)1当x趋于0时，f(xf),(x)趋于相同的极限，故limx0n1评：若fx()在(1,1)上还有n2阶导数，则用类似的方法可以得到更精密的估计式.2014年大学先修课程微积分试题1.计算下列极限111（1）lim()n223nn(