高三数学复习微专题之平面向量基本定理系数“等和线”的应用.pdf

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1、衡阳市数学学会高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》衡东一中朱亚旸一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高．近年，高考、模考中有关“等和线定理”（以下简称等和线）背景的试题层出不穷．学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高．在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题．二、等和线定理平面内一组基地OA,OB及任一向量OC，OCOAOB，R，若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则k

2、（定值），反之也成立，我们把直线AB以及直线AB平行的直线称为“等和线”．（1）当等和线恰为直线AB时，k1；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，k0,1；（3）当直线AB在O点和等和线之间时，k1,；（4）当等和线过O点时，k0；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；xy简证，如图1若OCOD，那么OCxOAyOBOAOBOD，xy从而有1，即xy．另一方面，过C点作直线l//AB，在l上任作一''''点C，连接OCABD，同理可得，以OA,OB

3、为基底时，OC对应的系数和依然为.三、定理运用（一）基底起点相同例1：（2017年全国Ⅲ卷理科第12题）在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD，则的最大值（）A.3B.22C.5D.2【分析】如图2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633衡阳市数学学会AFABBEEF3AB与圆相切时，最大，此时3,故选A.ABABAB练习1：(2006年湖南卷15题)如图3所示，OM//AB，点P在由射线OM、射线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不

4、含边界）运动，且OPxOAyOB（1）则x的取值范围是；1（2）当x时，y的取值范围是.2【分析】(1),根据题意，很显然x0；（2）由平面向量基底等和线定理可知，0xy1，113结合x，可得y.222练习2：(衡水中学2018届高三二次模拟)如图4，边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含短点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量APmABnAFm,nR，则mn的取值范围是（）A.1,2B.5,6C.2,5D.3,5【分析】AG2AB如图5，设APmABnAF，由等和线结论，mn

5、2.此为mn1ABABAH的最小值；同理，设APmABnAF，由等和线结论，mn5.此为mn2AB的最大值.综上可知mn2,5.衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633衡阳市数学学会（二）基底起点不同例2：（2013年江苏高考第10题）设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，且12有ADAB,BEBC,若DEABAC,R，则的值为12121223【分析】过点A作AFDE,设AF,BC的延长线交于点H，易知AFFH，即AFFH，即DF为BC的中1位线，因此.122练习3：如图7，在平行四边形ABCD中，M

6、,N为CD的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AB上一动点，Q为SMN内一点（含边界），若PQxAMyBN，则xy的取值范围是.【分析】如图8所示，作PSAM，PTBN，过I作直线MN的平行线，由等和线定理3可知，xy,1.4（三）基底一方可变例3：在正方形ABCD中，如图9，E为AB中点，P以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设ACxDEyAP，则xy的最小值为.衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633衡阳市数学学会【分析】由题意，作AKDE，设ADAC，直线AC与直线PK相交与点D，则有1ADxAKyAP，由

7、等和线定理，xy1，从而xy，当点P与点B1重合时，如图10，2，此时，xy．maxmin22x练习4：在平面直角坐标系xoy中，已知点P在曲线：y1x0上，曲4线与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，点D2,1和E1,0满足ODCEOP,R则的最小值为___.【分析】作CEOA，令ODxOD,有ODxOAxOP，111由等和线定理，xx1，所以，如图x111，再由等和线定理，得.m