高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》资料讲解.doc

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1、高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》精品文档衡阳市数学学会高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》衡东一中朱亚旸一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高．近年，高考、模考中有关“等和线定理”（以下简称等和线）背景的试题层出不穷．学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高．在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题．二、等和线定理平面内一组基地OA,OB及任一向量OC，OC=lOA+mOB(l，m

2、ÎR)，若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则l+m=k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及直线AB平行的直线称为“等和线”．（1）当等和线恰为直线AB时，k=1；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，kÎ(0,1)；（3）当直线AB在O点和等和线之间时，kÎ(1,+¥)；（4）当等和线过O点时，k=0；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；æxyö简证，如图1若OC=lOD，那么OC=xOA+yOB=lçOA+OB÷=lOD，llèø从而有x+y=1，即x+y=l．另一方面，过C点作直线l//AB，在l上任作一ll

3、点C'，连接OC'ÇAB=D'，同理可得，以OA,OB为基底时，OC'对应的系数和依然为l.三、定理运用（一）基底起点相同例1：（2017年全国Ⅲ卷理科第12题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若AP=lAB+mAD，则l+m的最大值（）A.3B.22C.5D.2【分析】如图2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档衡阳市数学学会与圆相切时，l+m最大，此时l+m=AF=AB+BE+EF=3AB=3,故选

4、A.ABABAB练习1：(2006年湖南卷15题)如图3所示，OM//AB，点P在由射线OM、射线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP=xOA+yOB（1）则x的取值范围是；（2）当x=-1时，y的取值范围是.2【分析】(1),根据题意，很显然x<0；（2）由平面向量基底等和线定理可知，0

5、A.(1,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]【分析】如图5，设AP=mAB+nAF，由等和线结论，m+n=AG=2AB=2.此为m+n1ABAB的最小值；同理，设AP=mAB+nAF，由等和线结论，m+n=AH=5.此为m+n2AB的最大值.综上可知m+nÎ[2,5].收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档衡阳市数学学会（二）基底起点不同例2：（2013年江苏高考第10题）设D,E分别是DABC的边AB,BC上的点，且有AD=12AB,BE=23BC,若DE=l1AB+l2A

6、C(l1,l2ÎR)，则l1+l2的值为【分析】过点A作AF=DE,设AF,BC的延长线交于点H，易知AF=FH，即AF=FH，即DF为BC的中位线，因此l1+l2=12.练习3：如图7，在平行四边形ABCD中，M,N为CD的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AB上一动点，Q为DSMN内一点（含边界），若PQ=xAM+yBN，则x+y的取值范围是.【分析】如图8所示，作PS=AM，PT=BN，过I作直线MN的平行线，由等和线定理é3ù可知，x+yÎê,1ú.4ëû（三）基底一方可变例3：在正方形ABCD中，如图9，E为AB中点，P以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设AC=

7、xDE+yAP，则x+y的最小值为.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档衡阳市高中教师数学交流QQ群：731847633收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档衡阳市数学学会【分析】由题意，作AK=DE，设AD=lAC，直线AC与直线PK相交与点D，则有AD=lxAK+lyAP，由等和线定理，lx+ly=1，从而x+y=l1，当点P与点B重合时，如图10，lmax=2，此时，(x+y)min=12．练习4：在平面直角坐标系xoy中，已知点P在曲