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《3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章一阶微分方程解的存在唯一性定理/Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE/¾解的存在唯一性定理与逐步逼近法⎧解的延拓性¾解的一般性质⎨⎩解对初值的连续依赖性和可微性*¾奇解*¾数值解Ch.3Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE⎧dy⎪=f(x,y)研究对象⎨dx⎪ϕ(x)=y⎩00主要问题•存在性，存在区间？•唯一性？•延拓性，最大存在区间？•初值微小变动时，解的变化情况？§3.1解的存在唯一性定理和逐步逼近法/Existence&UniquenessTheorem&P
2、rogressiveMethod/§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod内容提要/ConstantAbstract/⎧一阶方程的初值问题•概念和定义⎨⎩利普希兹条件⎧定理1⎪⎪⎧命题1⎪⎪命题2⎪⎪⎪•存在唯一性定理⎪定理1的证明⎨命题3⎪⎪⎪命题4⎪⎨⎪⎪⎩命题5⎪附注⎪⎪⎪逐步逼近法的思想⎪⎪⎩定理2§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod•本节要求/Requirements/¾深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论¾掌握逐步逼近方法的基本思想¾利用
3、逐步逼近序列进行似计算和误差估计§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod一、概念与定义/ConceptandDefinition/1.一阶方程的初值问题(Cauchyproblem)表示⎧dy⎪=fxy(,).................(3.1.1)⎨dx⎪ϕ(xy)=.....................(3.1.2)⎩00⎧Fxyy(,,')=0...........................(3.1.3)⎨⎩yx()==yyx,'()y'.............(3.1.4)0000§3.
4、1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2.利普希兹条件函数f(x,y)称为在矩形域:R:x−x≤a,y−y≤b…………(3.1.5)00关于y满足利普希兹(Lipschitz)条件，如果存在常数L>0使得不等式f(x,y)−f(x,y)≤Ly−y1212对所有(x,y1),(x,y2)∈R都成立。L称为利普希兹常数。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethoddy二、存在唯一性定理=f(x,y).........(3.1.1)dxR:x−x≤a,y−y≤b定理10
5、0如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解y=ϕ(x)定义在区间x−x0≤h,且满足初始条件ϕ(x0)=y0b这里h=min(a,)M=maxf(x,y)M(x,y∈R)§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的证明需要证明五个命题：@命题1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程@命题2构造一个连续的逐步逼近序列@命题3证明此逐步逼近序列一致收敛@命题4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解@命题5证明唯一性§3.1Existence&Uniquenes
6、sTheorem&ProgressiveMethod定理1的证明⎧dy⎪=f(x,y).........(3.1.1)命题1设y=ϕ(x)是初值问题⎨dx⎪ϕ(x)=y.............(3.1.2)⎩00的解的充要条件是y=ϕ(x)是积分方程xy=y+f(x,y)dxx≤x≤x+h……(3.1.6)0∫00x0的定义于x0≤x≤x0+h上的连续解。证明:•微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。•积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod证
7、明因为y=ϕ(x)是方程(3.1.1)的解，故有:dϕ(x)≡f(x,ϕ(x))两边从x0到x积分得到:dxxϕ(x)−ϕ(x)≡f(x,ϕ(x))dxx≤x≤x+h0∫00x0把(3.1.2)代入上式,即有:xϕ(x)≡y0+∫xf(x,ϕ(x))dxx0≤x≤x0+h0因此,y=ϕ(x)是积分方程在x≤x≤x+h上的连续解.00§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod反之，如果y=ϕ(x)是(3.1.6)的连续解，则有：xϕ(x)≡y+∫f(x,ϕ(x))dxx≤x≤x+h……
